46o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



^2» • •» Pa-« powi' points limites, cas déjà décidé par notre prémisse; ou on 

 ne le peut pas. Il ne nous faudra montrer que pour ce second cas l'exis- 

 tence d'une relation (2). 



» Dans ce second cas, on démontre par un raisonnement connu que, si 

 l'on donne h — i des nombres p,, po, ..., ^^.(o^ fi,< i), par exemple (â,, 

 ^2» . . •» ^k-si Oïl peut déterminer au moins d'une manière le nombre P;. tel 

 que le point p, , [io, • • -, ^k-\ » Pa- soit point limite de notre ensemble (3). 



» De la définition du point limite il suit que, si les points p,, ..., P/t 

 et Y|, . . ., ya- sont des points limites, le point (fi, H- y,), . . ,, ([3^+ ^(k) l'est 

 aussi (4). 



)) Étant alors défini un nombre ^j^ tel que le point o, o, ..., o, P/^ soit 

 point limite, tout point o, o, ..., o, iji^]^ l'est aussi. De là suit que, si ^^ était 

 irrationnel, l'ensemble de tous les nombres {n^i^ étant dense dans tout 

 l'intervalle (0,1), chaque point o, o, . . ., o, y/^ (o^yi<^ i) serait point 

 limite. Donc, en ce cas, il résulterait de (3) et de (4) que chaque point 

 p,, .. ., p;t (o = P/<C l'^st aussi. Alors, pour qu'il y ait des points (i,, . . ., S^ 

 qui ne soient pas points limites, chaque nombre p^^ tel que le point 0,0, ..., 

 o, P;^ soit point limite, doit être rationnel. Si ^^ peut prendre d'autres 

 valeurs que o, l'ensemble de tous ces nombres ^^^ rationnels, différents de o 

 est fini parce que, autrement, d'après (4), il serait dense dans tout l'inter- 

 valle (o, i). Entre tous ces nombres il y en a un qui est le plus petit. En 



le désignant par j •> [a^l doit être un nombre entier, autrement il y aurait 



un nombre [r—A plus petit que — En appliquant le théorème (4), on 



voit que les ^j^ sont fournis par les multiples de j ;• 



)) On déterminera de la même manière les nombres [a^| correspondant 

 aux autres nombres a^. 



» On voit aisément que si, pour un point limite de l'ensemble corres- 

 pondant aux X: nombres |«Ja,, . . ., [«aI^a» k— i des coordonnées sont zéro, 

 la ^'*'"® est aussi nulle. 



)) On va démontrer qu'en donnant aux nombres [aja,, . . ., [^z^^lay^ des 

 signes convenables, leur somme sera un nombre entier. 



» D'abord, l'ensemble correspondant aux nombres a,, ..., a^^-i ayant 



chaque point ■-^> ••-, p^— ^ (oi^,<<i) pour point limite, chaque point 



|«ll |<^A-— 1| 



P,, . . ., ^k-K 'est aussi pour l'ensemble correspondant aux k — \ nombres 



a,|a,, . . ., |a;t-< l^^A-i- ^^^"'' ^l^'*^ ^^"^"^^^ 1^^ '^^'^^'^''®^ ^<' " ••' ^A-i» il y a 

 d'après (3) toujours un nombre p/^ tel que le point p,, ..., ,Syt_,, p;^ soit 



