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genre k^ et dont les zéros forment une suite satisfaisant aux conditions 

 précédentes. Traçons de chaque racine a^ pour centre un cercle dont le 

 rayon est une fraction arbitraire, mais fixe, de la distance au centre voisin, 

 et excluons ces cercles du domaine de la variable re'^. Appelons enfin n le 

 nombre des a„ de module au plus égal à r. La valeur de la fonction, dans la 

 région conservée du plan, est 



^±,[f|ï-a|^(f-l-)rl 



/( H ; (1 + £„i 



„ S ni ( p — A) TC 



avec le signe + pour a ^ç 5 a -h 77, le signe — pour a — Tr^çfo., et £„ 

 tendant vers zéro pour n infiniment grand (' ). 



)) Cette formule, qui s'étend d'elle-même à un produit de facteurs, se 

 prête à deux applications intéressantes et voisines : à la continuité des 

 racines d'une fonction à coefficients variables, à la détermination, par ré- 

 gions, des racines d'une somme de fonctions. 



)) L'étude du quotient par z"' (m entier) de la dérivée logarithmique 

 d'une fonction dont les racines forment une suite à croissance et orientation 

 simples, conduit à une valeur asymptotique de ce quotient, valable lorsque 

 la variable est extérieure à une région comprenant les racines et d'épais- 

 seur — dans le voisinage de la /z^^™^, z„ tendant vers zéro. On peut ensuite 



tracer dans toute l'épaisseur de cette zone, entre deux racines consécu- 

 tives, des fragments de couronnes à l'intérieur desquels on connaît le signe 

 de la partie réelle ou de la partie imaginaire du quotient. Grâce à cette 

 double connaissance et cà l'application du théorème de Cauchy, on obtient 

 les propriétés que voici : 



» Si une fonction f(^z) de genre k et d'ordre p non entier admet pour ra- 

 cines les termes d'une suite à croissance et orientation simples, on peut tracer, 

 pour n assez grand, une infinité de cercles dont le centre soit à l'origine et qui 

 comprennent les n premières, de manière qu'à V intérieur de chacun d'eux le 

 nombre des racines de f\z^ soit égal à n + k — i. 



» La méthode s'étend aux fonctions qui, au lieu d'une, admettent plu- 

 sieurs suites de la nature indiquée. Prenons, par exemple, le cas de deux 

 suites à directions opposées et telles que le rapport des nombres de leurs 



(') Une formule équivalente à cette expression asymptotique a été obtenue en fonc- 

 tion de r, en même temps que d'autres, par M. E, Lindelof, mais dans des conditions 

 différentes : les a,i positifs, ^ constant et différent de zéro. 



