SÉANCE DU 24 OCTOBRE I904. 627 



racines dans un cercle de rayon /■ (et dont le centre est à l'origine) tende 

 vers I pour r infini. Si k est paii', le résultat précédent subsiste; s'il est 

 impair, le nombre trouvé s'abaisse d'une unité. 



» J'ajoute que l'on peut fréquemment isoler les racines de /"'(:;) dans 

 une région déterminée. 



» T.aguerre a démontré que, si une fonction entière réelle de genre k a un 

 nombre fini s de racines imaginaires, sa dérivée admet, en dehors des racines 

 que le théorème de Rolle met en évidence, au plus k ->!- s autres racines. 



» En me servant des mêmes considérations que plus haut, je complète 

 ce résultat; bornons-nons, pour simplifier, au cas de l'ordre réel supérieur 

 au genre : si les racines de la fonction sont limitées supérieurement (ou infé- 

 rieurement) , il y a pour la dérivée exactement k -\- s racines supplémentaires ; 

 sinon, il y en ak -\- s ou k -\- s —\, selon que k est pair ou impair. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines équations aux dérivées partielles 

 du second ordre (^^). Note de M. S. Bernsteix, présentée par M. Emile 

 Picard. 



« J'ai indiqué dans ma Thèse (Chap. IV, § 27) une méthode qui permet 

 de réduire le problème de Ti\nc\\\el(^Randwertaufgaben) pour des équations 

 aux dérivées partielles du second ordre de forme très générale à un simple 

 prolongement analytique. J^a question importante est de reconnaître dans 

 quels cas ce prolongement est possible. Je me bornerai dans cette Note à 

 appliquer ma méthode à l'équation 



en supposant essentiellement que-^^o et de plus en admettant, pour plus 



de simplicité, que /(^, y, o, o, 0)= o. Le lemme fondamental énoncé dans 

 ma thèse (/oc. cit.) peut se mettre ici sous la forme suivante : 



» Lemme. — Si l'équation (i) admet une solution régulière (ayant des déri- 

 vées finies des deux premiers ordres) z, qui sur la circonférence G se réduit à une 



(') Comparer avec ma Noie du 18 avril 1904 : Sur certaines équations différen- 

 tielles ordinaires du second ordre. 



