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un polynôme en x, y et z, s'annnlant sur la courbe double de la surface. 

 Le théorème que nous avons en vue est le suivant : 



» La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface ait r intégrales 

 distinctes de diff'érenlielles totales de seconde espèce, est que V équation E soit 

 vérifiée par r polynômes en y linéairement indépendants. 



» La démonstration de ce résultat va nécessiter diverses remarques. 



» 3. Partons d'un système fondamental d'intégrales (périodes de I) de 

 l'équation E, soit 



et désignons par 



(g) ^^:i'■=7ï^\^.o^-\- m[,(M..+.. .-\-m[j^iM.,j, (î = T , 1, . . . , ip), 



une substitution quelconque du groupe de Péquation E; les m sont des 

 entiers. 



)) Ecrivons les équations du premier degré par rapport aux lettres P,, 

 P. P. 



(2) P/- KP, 4- m[V, + ...-^mi^^V,p (î = I, 2, . . ., 2/>), 



et cela pour toutes les substitutions du groupe (on pourra se borner aux 

 substitutions fondamoitales). J'ai démontré que, si l'on peut satisfaire à 

 toutes ces équations, r étant le nombre des lettres P restant arbitraires, il 

 y a pour la surface r intégrales distinctes de seconde espèce, et inverse- 

 ment. 



)) Ceci rappelé, cherchons à quelles conditions l'équation différentielle E 

 admettra comme solution un polynôme. Celui-ci sera de la forme 



les 1 étant des constantes. Il faut et il suffit que l'expression précédente ne 

 change pas, quand on effectue sur les oj toutes les substitutions du groupe 

 de E; ceci entraîne les équations 



(3) >., = 7.,m; -{-X,w:H-...H-};o^mj^ (i = i, -2, . . ., ip). 



-» Si le théorème énoncé est exact, la possibilité de satisfaire à l'en- 

 semble des équations (2) entraîne la même possibilité pour l'ensemble des 

 équations (3), et le nombre des P et des 1 restant arbitraires sera le même. 

 Telle est la question algébrique à laquelle nous sommes ramené. 



» 4. 1! est manifeste que, si le groupe de E était quelconque, il n'y aurait, 



