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Dans la question qui nous occupe, on peut donc remplacer le système des 

 équations (2) par le système des équations (5). Nous allons voir que, 

 pour les équations (3) et les équations (5), le degré d'indétermination 

 (les Q et les 1 étant les inconnues) est le même. Il suffit de transformer le 

 système (5), en prenant le système inverse manifestement équivalent, ce 

 qui donne 



(5)' Qi= 7njQ, ^ m^Q,-^ . , . -^ mrPQ,^, (^ = 1,2, ..., 2p). 

 Or le système (5)' n'est autre que le système (3), quand on pose 



» Le théorème est donc établi, et l'on voit nettement la correspondance 

 entre une intégrale de seconde espèce et un polynôme en y solution de E. 



» 5. Indiquons une application du théorème général qui précède. Nous 

 avons antérieurement établi que le nombre des conditions pour qu une inté- 

 grale double de la forme 



(^) // 



P(ic, r, z)dx dy 



(le polynôme P s'annulant sur la courbe double) soit de seconde espèce est 

 égal à ip, quand l'équation E n'admet pas comme solution de polynôme 

 en y (voir en particulier le Tome II, page 328, de ma Théorie des fonctions 

 algébriques). 



» Nous sommes maintenant en mesure d'aller plus loin. En raisonnant 

 à peu près comme à l'endroit cité, on établit sans peine que, si l'équation E 

 admet comme solution rpolynomes indépendants, le nombre des conditions 

 relatives à (6) est égal à 2yj — r. Si nous rapprochons ce résultat du théo- 

 rème établi plus haut, nous avons le théorème suivant : 



» Si une surface a une connexion linéaire égale à /;, , le nombre des con- 

 ditions exprimant qu'une intégrale double du type (6) est de seconde espèce 

 est exactement égala ip — (/>, — i). 



» Ce résultat m'a permis de compléter la théorie des intégrales doubles 

 de seconde espèce, pour le cas que j'ai laissé de côté dans mes recherches 

 jusqu'ici publiées, où la connexion linéaire de la surface est supérieure à 

 un (cas d'ailleurs exceptionnel, comme on sait). Je reviendrai prochaine- 

 ment sur cette intéressante question. « 



