SÉANCE DU 2 1 NOVEMBRE rgo/f. 849 



cette proposition de façon à répondre au problème plus général que nous 

 avons rappelé. C'est cette extension qui fait l'objet de la présente Note. 



» II. Nous supposons donnée une certaine catégorie C d'éléments quel- 

 conques (nombres, surfaces, etc.), dans laquelle on sache discerner les 

 éléments distincts. Nous pourrons dire que U^ est une fonction (^oii opéra- 

 tion fonctionnelle) uniforme dans un ensemble E d'éléments de C, si à tout 

 élément A de E correspond un nombre bien déterminé U^. 



M Pour arriver à la notion de continuité d'une telle fonction, nous sup- 

 poserons acquise une définition qui donne un sens précis à cette phrase : 

 la suite infime A^, Ao, . . ., A„, . . . d'éléments de C a une limite B. Il nous 

 suffira que cette définition, d'ailleurs quelconque, satisfasse aux deux 

 conditions suivantes : 1° si la suite Ai, Ao, . . ., A„, ... a une limite, toute 

 suite A^, A^^, ..., formée d'éléments d'indices croissants de la première 

 suite a aussi une limite qui est la même; 2** si aucun des éléments A,, 

 Ag, ... d'une suite quelconque n'est distinct de A, cette suite a une limite 

 qui est A. 



» Ceci étant, nous appellerons élément limite d'un ensemble E, un élé- 

 ment A qui soit la limite d'une suite d'éléments distincts pris dans E. Un 

 ensemble E sqy2l ferî7ié s'il ne donne lieu à aucun élément limite ou s'il 

 contient ses éléments limites. 



» Nous pourrons dire maintenant qu'une opération fonctionnelle U uni- 

 forme dans un ensemble fermé E est continue dans E si les nombres U^,, 

 tendent toujours vers U^ lorsque la suite quelconque d'éléments de E : 

 A,, . . ., A„, . . ., a pour limite A, quel que soit l'élément limite A de E. 



» Enfin nous appellerons ensemble compact tout ensemble E tel qu'il 

 existe toujours au moins un élément commun à une suite infinie quelconque 

 d'ensembles E,, E., ..., E„, ..., contenus dans E, lorsque ceux-ci (possédant 

 au moins un élément chacun) sont fermés et chacun contenu dans le pré- 

 cédent. 



» III. Moyennant les définitions précédentes, nous arrivons immédiate- 

 ment à la généralisation annoncée : 



» Théorème . — Toute opération fonctionnelle U^ uniforme et continue dans 

 un ensemble compact et fermé E ; x"" est bornée dans E ; 2^* 7 atteint au moins 

 une J ois sa limite supérieure. 



» IV. Le théorème précédent faisant jouer un rôle important à la notion 

 d'ensemble compact, il y a lieu d'étudier les propriétés d'un tel ensemble. 

 On y parvient plus facilement au moyen de la proposition suivante : 



» La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble E soit compact 



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