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est que tout ensemble II, formé d'une infinité d'éléments distincts contenus 

 dans E donne lieu à un élément limite au moins. 



» La définition montre aussi que les ensembles compacts jouissent de 

 propriétés analogues à celles des ensembles limités de points de l'espace. 

 En particulier, tout ensemble formé d'un nombre fini d'éléments distincts 

 est compact, tout ensemble formé d'un nombre fini d'ensembles compacts 

 est lui-même compact, tout ensemble contenant un ensemble non compact 

 est non compact. 



)) Ce rapprochement s'explique lorsqu'on remarque que, en prenant 

 comme éléments les points d'une droite par exemple, et en adoptant la 

 définition ordinaire de la limite d'une suite de points, on trouve que tout 

 ensemble limité de points d'une droite est un ensemble compact. Un intervalle 

 (où les extrémités sont comprises) sera un ensemble compact et fermé. On 

 retrouve ainsi le cas particulier de Weierstrass que nous avons rappelé. Le 

 même théorème s'étend à l'espace à un nombre fini de dimensions. On 

 peut prouver qu'il s'étend encore (en choisissant convenablement la défi- 

 nition de la limite) à l'espace à une infinité dénombrable de dimensions. 

 Ces propositions, d'apparence bien abstraite, comportent de nombreuses 

 applications. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — La série de Fourier et la série de Taylor 

 sur son cercle de convergence. Note de M. P. Fatou, présentée par 

 M. Painlevé. 



« Soit/((p) une fonction de période 27:, sommable au sens de M. Le- 

 besgue; considérons les deux séries 



(I) cZo-1- {a^ cos© 4- b^ sincp) + . . . 4- («„cos/icp -h Z>„sin/i(p) 4- . . ., 



(II) — Z^o^- («, sincp — />, cos 9) + . . . + (a„sin/i9 — 6„cos«(p) -h .. ., 



dont la première est la série de Fourier attachée à la fonction /(ç); elles 

 représentent respectivement ce que deviennent la partie réelle et la partie 

 imaginaire de la série de Taylor : 2(a« — i^«)5", quand on pose z = e'^. 



)) L'étude de la convergence de la série (I) a fait l'objet de nombreux tra- 

 vaux : la plupart des méthodes employées s'appliquent également à l'étude 

 de la convergence de la série (lE) ou, ce^qui revient au même, de l'in- 

 tégrale 



X 



- /(? + ^0 — fhl \cosl - cos(2m -hi)l\ dt. 



