SÉANCE DU 2f NOVEMBRE 1904. 85 1 



)) Comme pour la série (I), la convergence de la série (II) pour la 

 valeur cpo de la variable dépend seulement de la manière dont se comporte 

 /(cp) autour de cpo- 



» Posons 



/('f + 0-/('f) 



» Si h{t^ admet une intégrale, la série (I) converge vers/(cp), ainsi que 

 l'ont montré MM. Dini et Lebesgue; la série (II) converge également et a 

 pour somme 





du 



(en laissant de côté b^ qui reste arbitraire). 



)) Si ^(9) est à nombres dérivés bornés dans un intervalle, g(o) est 

 continue dans cet intervalle ; il en est de même si l'on a 



|/(m) — /(9)|< A|/^ — cpp (^>o) (condition de Lipscbitz) ('). 



» La condition de Dini-Lebesgue n'est nullement nécessaire pour la con- 

 vergence de la série (II). Pourtant si, / étant intégrable au sens de Rie- 



mann, le rapport ^^-^^^ — conserve un signe constant au voisinage 



de t = o, cette condition est nécessaire : si h(t) n'est pas intégrable, la 

 série (II) a une somme infinie. 



» On voit que la série (II) peut être divergente quand la fonction /"est 

 à variation bornée. 



» Si /(cp) est à variation bornée, ])our que la série (II) converge, il faut 

 et il suffit qu'en posant 



l'intégrale 



f \{t)dt (ûf>o) 



tende vers une limite quand s tend vers zéro. 



» La fonction intégrée pouvant ici changer de signe une infinité de fois, 

 cette condition a un tout autre sens que celle de Dini. 



(') On peut démontrer que les séries (I) et (II) convergent alors uniformément. 



