SÉANCE DU 28 NOVEMBRE igoZf. 9l5 



des aires 'x^ des régions retranchées Ra est inférieure à l'aire a du rectangle R, l'en- 

 semble E des points Ç = ^ + r^, non retranchés, a pour aire le nombre a — a. 



» Je désigne par z=zx + iy les points qui ne font pas partie de l'ensemble E et 

 par w = 11 + iv un point quelconque du rectangle R, sans distinguer s'il appartient ou 

 non à l'ensemble E. 



» Cela posé définissons dans R une fonction continue quelconque cp(M, c); P^ur 

 fixer les idées on peut supposer que cp est une fonction réelle et positive. Formons 

 maintenant l'intégrale double 



étendue au rectangle R; on peut encore l'écrire 



en désignant par d^ù l'élément à'aire et par w l'affîxe du centre de gravité de 6^co. 

 » De cette intégrale retranchons successivement les intégrales 



'-' l lu I 



Mrfc 



étendues aux. régions R/,. 

 » Posons maintenant 



{ lU ) 



» F (s) est la fonction analytique cherchée. On peut voir en effet, en 

 s'appuyant sur les propriétés bien connues du potentiel, que F(z) est une 

 fonction continue clans tout le plan. Ses points singuliers font partie de 

 l'ensemble E. La fonction F(z) est continue aussi en ces points. 



» Remarquons en terminant que l'on peut défmir plus simplement la 

 fonction F (s) en faisant usage de la définition générale de l'intégrale, 

 donnée par M. Lebesgue. 



» Désignons par ^ une fonction égale à 9 pour tout point ^ de 1 en- 

 semble E et égale à zéro pour tout autre point. On aura 



F(z) = -A- / -^^-^f/co. 



)) La condition imposée à l'ensemble E d'avoir une aire non nulle est 

 évidemment essentielle : autrement la fonction F (5) serait identiquement 

 nulle. » 



