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nome. En se servant d'un théorème que j'ai démontré dans une Commu- 

 nication récente (^Comptes rendus, ii novembre 1904) sur cette équation E, 

 on peut arriver à donner pour p^ une formule générale applicable à tous les 

 cas; c'est ce que je me propose d'indiquer succinctement. 



» 2. Une première recherche à compléter est celle du nombre des 

 périodes (telles que les ai envisagées) de l'intégrale double 



. V r rV{a-,y,z)dxdv 



(^> JJ — — — -' 



y=o étant l'équation de la surface et le polynôme P étant seulement 

 assujetti à s'annuler sur la courbe double. Nous avons trouvé pour ce 



nombre 



N — 2/? — (m — i) 



quand la surface n'a pas d'intégrales de différentielles totales de seconde 

 espèce. L'énoncé général est maintenant le suivant : le nombre des périodes 

 de V intégrale (2) est égala 



N — ip — {in — \) -\- r 



s lia surface a r intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce. 

 )) Je rappelle en outre qu'à la fin de ma Communication récente j'ai 

 indiqué que le nombre des conditions exprimant que C intégrale double (2) est 

 de seconde espèce est égal à 



ip — /'. 



)) 3. Avec les résultats précédents, dont la démonstration rigoureuse 

 exige une analyse assez longue, il est facile de trouver le nombre p^ des in- 

 tégrales doubles distinctes de seconde espèce d'une surf^ice /. Il n'y a qu'à 

 suivre la même marche que dans mes recherches antérieures, où l'on avait 

 r = o. On est ainsi conduit à la formule générale applicable à tous les cas : 



» il s'agit bien entendu d'une surface f que nous appellerons à singula- 

 rités ordinaires, c'est-à-dire n'ayant (\\iune ligne double avec points triples 

 sur cette ligne double, qui ne présente d'ailleurs aucune particularité excep- 

 tionnelle. 



» Si, outre ces singularités, la surface possédait des points doubles 

 coniques isolés, la formule générale serait à modifier de la manière sui- 

 vante. Représentons par d le nombre des points doubles isolés, les autres 



