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On peut alors écrire la formule (5) de la manière suivante : 



(6) 1^ +d- [\p- {m- i)-|-F = N'-t-r/'— 4/— (m'— + F'. 



C'est une relation d'invariance entre deux surfaces se correspondant point 

 par point; mais il y figure, comme on voit, les nomhre'idQs points fonda- 

 mentaux de la correspondance sur l'une et l'autre surface. 

 » 6. La combinaison 



N — 4/? — (m-i), 



qui joue un rôle important dans la théorie analytique des intégrales doubles 

 de seconde espèce, s'est déjà présentée dans la théorie géométrique des 

 surfaces algébriques. Dans le Mémoire célèbre de M. INôther \Zur Théorie 

 des eindeutigen Entsprechens algehraischer Gebilde (JSialh. Annalen, t. YIII)J, 

 on trouve (notamment p. 007) la combinaison (') 



n' — 2« H- 3^, 

 où avec nos notations on a 



7i'^=N, n:=m, a = 2(n — i) -h ip, 



ce qui donne 



/i' — 2« -h 3/z = N — 4/^ — ^n -+- 4. 



» On trouve, à la page citée du Mémoire de M. Nolher, la formule rela- 

 tive à deux surfaces / et /, se correspondant point par point, 



( «7 ) n' — 2 rt + 3 /i H- io a = A/' — 2 a , 4- 3 « , -H 2)0 y-i • 



» Dans cette formule, IS^fj!. se rapporte aux points multiples isolés d'ordre 

 [a({x^2) sur la surface/, et de même -ojx, pour la surface /, . 



» La formule (6) est du type de la formule (7) de M. Nother. Cette for- 

 mule (6) est, en un sens, plus générale que celle de M. Nother, puisque 

 celui-ci suppose qu'il n'y a pas de points fondamentaux simples dans la cor- 

 respondance; par ailleurs elle est plus particulière, puisque dans (7) 

 peuvent se trouver des points multiples isolés d'ordre supérieur à deux, 



(^) M. Zeuthen {Comptes rendus, t. LXX, et Math. Annalen, t. IV, p. 3-) avait 

 déjà formé un invariant relatif analogue. J'ai déjà rappelé {Comptes rendus, 22 fé- 

 vrier 1904) que MM. Caslelnuovo et lînriques ont aussi rencontré la même combinaison 

 beaucoup plus récemment dans une étude remarquable sur les systèmes linéaires de 

 courbes sur une surface {Annali di Matematica, 1901). 



