SÉANCE DU 5 DÉCEMBRE 1904. 957 



d'un grand nombre de recherches depuis les anciens travaux de Fourier, 

 de Poisson, de Laplace, jusqu'aux travaux récents de M. Boussinesq et de 

 M. Appell. 



)) Mais, en se bornant même à l'équation de la propagation delà chaleur 

 à deux variables indépendantes, il n'y a pas jusqu'à présent de formules 

 générales capables de faire ressortir toutes les particularités de l'intégration. 



» On sait, par exemple, que l'une des variables indépendantes joue un 

 rôle tout à fait différent de l'autre et Poisson a beaucoup insisté sur ce 

 point en montrant que la même intégrale peut s'exprimer moyennant deux 

 fonctions arbitraires ou une seule fonction arbitraire. 



)) Or la méthode des caractéristiques qui a eu tant de succès dans le cas 

 des équations du type hyperbolique semble, au premier abord, impuissante 

 à éclaircir ces questions fondamentales par rapport aux équations du type 

 parabolique. 



» Voici, maintenant, la cause de cette difficulté. On a toujours conçu la 

 méthode de Riemann comme bornée au domaine des variables réelles. Au 

 contraire, pour approfondir avec succès les questions dont nous venons de 

 l^arler, il faut commencer par étendre la méthode aux variables complexes 

 et ensuite l'appliquer ainsi généralisée. 



» Je vais montrer l'avantage que l'on peut tirer de cette idée en étudiant 

 l'équation différentielle 



/ \ d-u du j., x 



(') d? - s: =/(^' ''^- 



» Nous supposerons que l'on puisse regarder u et/" comme des fonctions 

 de la variable réelle z et de ^r = ^ H- r/i et que ces fonctions n'aient pas de 

 singularités dans le domaine où on les envisage. En écrivant «(s, E, yi), 

 /(^, E, 7)) ce domaine sera à trois dimensions et il sera défmi par les trois 

 coordonnées réelles z, ^, r\. 



» En priant le lecteur de faire la figure, menons une droite mm! paral- 

 lèle à l'axe z dans le plan \z et une surface régulière g limitée par cette 

 droite et par deux lignes MNP et M'N'P', les points M, P, M', P' étant 

 sur mm! . Nous regarderons la ligne ^^MNPP'N'M' comme le contour delà 

 surface g. 



» (]/ étant une solution de l'équation (i) et ^^ une solution de l'équation 

 adjointe 



d'^v dv r r \ 

 ôz- ôj: •' ^ 



G. R., 1904, 2' Semestre. (T. CXXXIX, N° 23.) 120 



