SÉANCE DU 5 DÉCEMBRE igo/j. 9^3 



THÉORIE DES GROUPES. — Sur les groupes d'ordre jf (p premier, m > 4 ) dont 

 tous les diviseurs d' ordre p'""-'- sont abéliens. Note de M. Poïro.v, présentée 

 }3ar M. Emile Picard. 



« Dans une précédente Noie (') j'ai exposé la détermination des gy/'G 

 dont tous les g^m- sont abéliens et dont, en outre, le commutant est cyclique. 

 Il n'y a lieu de faire cetle restriction que dans le cas où G peut être en- 

 gendré par deux générateurs dont le commutateur n'est pas normal (-). 

 Voici la détermination des types de G à commutant non cyclique : 



)) Je pose G = (e,/), f-^ef=ed, e'^de — dh, f-^ef=ed, puis (en 

 remarquant que l'égalité /-' e"' def =f-^ dbf exige c"' e"' ce = ^~'/~' ^/) 

 e 'ce = ca, /'-' bf= ha, et (c? n'étant pas normal ) je suppose Z> ^ i. Chacun 

 des g^«-'(CP,Ê') et (CP,/), ayant tous ses diviseurs abéliens, contient 

 normalement ses commutateurs et lesyo'^™^* puissances de ses éléments; il 

 faut d'ailleurs (CP, e) = (d, e). On en conclut que b, c sont respectivement 

 permutables à e, f, que a, d^, eP\ f^'' sont normaux, ce qui exige 



aP=bP=cP=dP"=:i, 



que c est dans (^d, e), ce qui exige a = i. Ainsi b et c sont normaux, on a 

 C = (è, c, d), tout élément de G peut s écrire J'' é' d' c^ h"" , un gj^-^ quelconque 



de G est G,., == (CP, /"e-^ ) {y ou z^ o), A divise CP e^ -^ est un gy principal 



défigure (i)(ii). Deux cas se présentent alors suivant que G contient ou 

 non hors de CP un élément permutable à tout élément de C. 

 » Dans la première hypothèse, on peut faire c = i . A cause de 



(CP,e) = (r/,e), 



fp est dans (</, e), ce qui exige que dP =z i et que fP soit dans (e^, b). Il 

 faut/?^ 2, sans quoi G aurait le diviseur non abélien (e- , /) d'ordre ^p'"~^. 

 Pour que tout g^-»--- de G soit abélien, il faut et il suffit que tout gy,"'-- non 

 abélien, c'est-à-dire ici tout G^.-(y ^ o), ait tous ses diviseurs abéliens. On 

 sait (^) exprimer cette condition et on la trouve équivalente à celle-ci : A. est 



C) Comptes rendus, août 1904. J'emploie ici les mêmes notations. 



(2) Dans la Note citée, riadication explicite de cette restriction a été omise. 



(^) PoTRON, Thèse, n° 13, p. 24. 



