SÉANCE DU 12 DÉCEMBRE IQO^. lOîQ 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'approximation des incommensu- 

 rables et les séries trigonométriques . Note de M, Fatou, présentée 

 par M. Painlevé. 



« Considérons l'ensemble des fractions — (irréductibles ou non , en 

 nombre infini, telles que l'on ait 



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Cf. étant un nombre réel quelconque; telles seront, par exemple, les ré- 

 duites du développement de a. en fraction continue. 



» Réciproquement : Si l'inégalité précédente a lieu, — est une réduite, ou 



une fraction convergente intermédiaire, ou bien une fraction réductible égale 

 à une réduite. 



» Entre les deux réduites et — ? oji peut intercaler au plus deux frac- 



tions convergentes intermédiaires (les deux fractions extrêmes) donnant lieu 

 à l'inégalité (i). 



» On pourra donc facilement déduire, du développement de a en frac- 

 tion continue, toutes ces fractions — • On est ainsi conduit aux propositions 



générales qui suivent : 



Soient A et B des nombres réels vérifiant les inégalités 



A>3, B>2A-, 



on peut trouver deux entiers p et q tels que Ion ait 



P-a. 



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