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proposition analogue à celle démontrée par M. Borel, par une voie diffé- 

 rente, et relative aux fractions — telles que 



q ^ 



< 



q-\l5 



» Si l'on suppose seulement B = [xA-~", £ et jx étant des nombres positifs 

 quelconques, il existe toujours des nombres a. tels que, pour certaines va- 

 leurs infiniment grandes de A, on ait toujours 



-- >:^: 



lorsque q est compris dans l'intervalle (A, B). 



» Désignons par 9 (A) le nombre de solutions, en nombres entiers, des 



inégalités 



^-a 



< 



(o<^</0, 



» On a toujours, quel que soit le nombre irrationnel ol, 



?(^)>J^ogA. 



» Si la fraction continue que représente a a ses quotients incomplets 

 limités, on aura toujours 



A<fW<B, 

 log/t 



A et B étant des nombres positifs fixes. 



» Dans les autres cas, la fonction cp(/i) a une allure irrégulière; on voit 



facilement, en tout cas, que 'i-jl tend vers zéro avec j- 



•» II. Il m'a paru intéressant de généraliser la théorie de la représenta- 

 tion décimale, en considérant la suite des valeurs approchées de a à — ? 



— ) • • • près, ^, , (70, . . . , q,i, . . . étant des entiers tels que l'on ait ^„+, ^ 2^„, 



moyennant quoi on peut affirmer que les valeurs approchées par défaut 

 ne décroissent jamais et que les valeurs approchées par excès ne croissent 

 jamais, et Ton peut raisonner comme s'il s'agissait des valeurs approchées 



a T^ près. 



