I024 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Y 

 peut aussi, avec avantage, introduire seulement le rapport -vp^- La fraction 



' Il 



continue est, en effet, comme on sait, éqiu'valente à la série 

 a, 



V,V, V2V3 V3V, ' '•" 

 pour laquelle le rapport des deux termes consécutifs a pour expression 



_ Y^^ 



» Les intéressants résultats indiqués par M. de Montessus de Ballore dans les Noies 

 présentées à l'Académie des Sciences, dans les séances des 28 juin 1902, 22 février 

 et 21 novembre 1904, ainsi que ceux de son travail Sur la convergence de certaines 

 fractions continues algébriques, paru dans les Annales de la Société Scientifique de 

 Bruxelles, t. XXVII, 1908, sont des applications immédiates de cette méthode générale. 

 M. de Montessus n'a pas fait jusqu'ici connaître l'origine qu'il donne à l'équation 

 différentielle linéaire qui joue le rôle fondamental, et qui s'obtient immédiatement, 

 comme on vient de le voir, par le théorème de Laplace. 



)) 2. L'introduction du quotient "~' rattache d'ailleurs celte méthode 



aux recherches de M. Poincaré : Sur les équations linéaires aux différentielles 

 ordinaires et aux différences finies (^American Journal of Mathematics, i885), 

 dont M. Pincherlé a, le premier, fait usage dans l'étude de la convergence 

 des fractions continues (^Annales de V École Normale supérieure, 1889), et 

 qui permettent d'obtenir immédiatement , sans passer par r intermédiaire de 

 Céquation de Laplace, la limite de ce quotient. Ce procédé a en outre 

 l'avantage d'éviter une objection que lèveront sans doute les travaux de 

 M. de Montessus quand ils seront publiés dans tout leur développement, 



V _ 

 et qui provient de ce que la limite du module de — ^ est, par lui, déduite 



' rt 



de la connaissance du rayon de convergence de la fonction génératrice de V^ : 

 or, on sait seulement que, quand le rapport tend vers une limite, cette 

 limite est un point, d'ailleurs critique pour cette fonction génératrice, du 

 cercle de convergence (Hadamard, La série de Taylor, p. 19). 



» Enfin, la convergence de la série équivalente à la fraction continue 

 étant supposée établie, comment en résulte-t-il que sa somme, c'est-à-dire 

 la valeur de la fraction continue, soit égale à la fonction, supposée connue 

 a priori, (jui lui a donné naissance? c'est un point qui peut, au jjioins dans 

 certains cas particuliers, et par des méthodes entièrement différentes, être com- 



