SÉANCE DU 19 DÉCEMBRE 1904. Io65 



aucun résultat essentiellement nouveau; le second, dû à M. Servant, a été 

 retenu par l'Académie. 



Le Mémoire de M. Servant est consacré, dans sa première Partie, à 

 l'étude du problème de Cauchy : 



Déterminer les surfaces applicables sur le paraboloïde de réçolution 

 (^surfaces S) qui passent par un contour donné. 



M. Servant montre aisément que le pi'oblème dépend (en outre de qua- 

 dratures) d'une équation différentielle du troisième ordre qui, malheureu- 

 sement, ne semble pas intégrable en général. L'intégration toutefois en est 

 immédiate dans les cas particuliers où le contour donné doit être une géo- 

 désique ou un cercle géodésique de la surface S ; mais les formules d'inté- 

 gration sont compliquées. M. Servant détermine encore explicitement 

 quelques surfaces S dont une ligne de courbure est plane ou sphérique, et 

 ramène la recherche générale de telles surfaces à l'intégration d'une équa- 

 tion de Riccati. Il discute enfin le cas où le contour donné doit être une 

 asymptotique de S, cas où le problème change de nature : le contour est 

 alors assujetti à une certaine condition géométrique. 



La dernière Partie du Mémoire traite de la correspondance connue cjui 

 existe entre les surfaces S et les surfaces minima. La recherche des sur- 

 faces S qui correspondent à une surface minima donnée, dépend d'après 

 M. Bianchi, d'un certain système complet assez compliqué. M. Servant 

 ramène ce système à un couple d'équations de Riccati : il intègre ces équa- 

 tions dans le cas où la surface minima est hélicoïdale ou de révolution. 



M. Servant rattache enfin à la déformation des quadriques certaines 

 surfaces isothermiques (qui ne sont autres que celles de M. Darboux) et 

 certaines surfaces d'Ossian-Bonnet (surfaces qui admettent une déformation 

 continue conservant les rayons de courbure principaux). Il donne explici- 

 tement les deux formes quadratiques qui définissent intrinsèquement celles 

 de ces dernières surfaces qui se rattachent au paraboloïde de révolution : 

 elles dépendent de deux fonctions arbitraires. 



Ces résultats intéressants, dont les derniers surtout sont dignes d'atten- 

 tion, témoignent d'une connaissance approfondie de la géométrie des sur- 

 faces et d'une habileté véritable à en manier les formules et les transforma- 

 tions. Mais, considérant que le Chapitre sur les surfaces S algébriques 

 n'apporte aucune contribution à la détermination de ces surfaces, problème 

 que visait spécialement l'Académie, la Commission propose de ne pas 



