I068 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Le Mémoire n" 1 a suivi une marche exclusivement analytique : on sait 

 que, pour résoudre l'équation à dix-sept termes, il suffît d'établir entre les 

 T/ des relations linéaires à coefficients constants ; il en résultera entre les E^ 

 des relations complémentaires, et l'on aura ensuite à rechercher si toutes 

 ces équations sont compatibles avec la forme des fonctions E,- et T,-. L'auteur 

 classe les relations linéaires entre les T,- d'après le nombre de celles qui 

 existent entre les neuf cosinus du Irièdre mobile, c'est-à-dire d'après le 

 nombre des relations quadratiques qui lient les variables X, [x, v, p. Il 

 distingue ainsi, en excluant le cas A d'une translation, les six cas B, C, D, 

 E, F, G, selon que le point de coordonnées homogènes X, [x, v, p décrit une 

 droite, une conique, une cubique gauche, une biquadratique, un plan ou 

 une quadrique; un dernier cas. H, est celui où X, a, v, p ne satisfont à 

 aucune équation du second ordre. 



Dans chaque cas, l'auteur forme les relations linéaires et quadratiques 

 entre les neuf cosinus; revenant ensuite à l'équation à dix-sept termes, il 

 en déduit les relations qui lient les fonctions de l'espace, et dont la discus- 

 sion, souvent longue et difficile, lui fait connaître les figures (/) et (F), si 

 elles existent. Il n'a d'ailleurs abordé que les cas B, C, D, F, H, sans 

 prétendre même à les traiter complètement; il a néanmoins obtenu un 

 certain nombre de déplacements sphériques nouveaux, de sorte que son 

 travail, remarquable par la précision et la sûreté, vaut également par les 

 résultats géométriques. Indiquons les principaux. 



Cas B. — Les figures (f) et (F) peuvent être respectivement : i" les 

 arêtes de deux prismes quadrangulaires ; 2° les surfaces de deux cylindres 

 de révolution ; 3'' les surfaces de deux cylindres droits égaux à base 

 cubique. 



Cas C. — L'auteur trouve les mouvements relatifs des deux hyperbo- 

 loïdes et des deux tétraèdres imaginaires obtenus dans le Mémoire n^'S; 

 à propos de ce second exemple, en observant que chaque tétraèdre a deux 

 arêtes réelles, il arrive à cette élégante conséquence : 



Etant donné un quadrilatère gauche ah a' h' à côtés opposés égaux, 

 soient A, B, A', B' les perpendiculaires élevées en chaque sommet au 

 plan des deux côtés qui y passent : la figure formée par A' et B' peut se 

 déplacer par rapport à la figure formée par A et B supposées fixes, de 

 manière que le mouvement de B' soit une rotation autour de A^ et celui 

 de A' une isolation autour de B, 



