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M. le Ministre de l'Instruction publique transmet à l'Académie la dé- 

 pêche suivante, adressée par M. Janssen : 



« Vésuve repris activité. Nous étudions Téruption et rapporterons gaz du cratère et 

 roches. Nous sommes assistés de M. Matteucci que nous remercions. » 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur le théorème des aires et les systèmes 

 conservatifs . Note de M. Paul Painlevé. 



« 1. On sait qu'un système matériel est dit conservatif quand les forces 

 intérieures dérivent d'un potentiel U, parfaitement déterminé par la configu- 

 ration du système, c'est-à-dire par les valeurs /y^. des distances mutuelles 

 des points . . . My, . . ., M;^, ... du système, associés deux à deux. Quand la 

 configuration d'un système conservatif est la même à deux instants ^o, t^, 

 le travail des forces intérieures dans l'intervalle de temps t^ — t^ est nul. 



» Ceci rappelé, soit S un système conservatif dont chaque élément reste 

 identique à soi-même, en sorte que Vètat du système à un instant t est 

 complètement défini par la position et la vitesse de chaque élément. Ce 

 système S étant abandonné sans vitesse dans le vide au-dessus du sol, est-il pos- 

 sible qu'il reprenne à un instant t sa configuration initiale, orientée diffé- 

 remment dans l'espace? 



» C'est là une question qui a déjà été discutée devant l'Académie, il y a 

 quelques années (^Problème du chat qui retombe sur ses pattes). Quand on 

 n'assujettit pas le système S à être conservatif, la réponse est affirmative et 

 a été appuyée de nombreux exemples. On peut même former des exemples 

 où les forces dérivent d'un potentiel U (r,o, . . ., rj,,. . .) non uniforme (*). 



(^) Considérons par exemple le système formé par les deu.v branches d'un compas 

 OA, OB, légèrement décalées Tune par rapport à l'autre, de façon à pouvoir pivoter 

 complètement autour de leur axe commun de rotation 00'. Supposons que leur centre 



de gravité coïncide avec O, et soit l'angle ÂOB compris en valeur absolue entre zéro 

 et 71, et compté positivement de gauche à droite autour de la demi-droite 00'. Sup- 

 posons que les deux branches n'exercent aucune force l'une sur l'autre quand 6 est 

 nul ou égal à ± tt, que leurs éléments s'attirent suivant une certaine fonction de la 

 distance pour 6 < o, qu'ils se repoussent suivant la même loi pour 0>o. Les forces 

 intérieures dérivent alors d'un potentiel 11(6), bien déterminé et continu quand varie 

 de — Tt à -t-TT, mais la différence U(7r) — U(— tt) est une certaine quantité positive A; 

 le potentiel U n'est pas une fonction uniforme de la configuration. Abandonnons le 

 système sans vitesse, dans le vide, l'angle AOB étant positif, très petit et ayant comme 



