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mouvemenl et les conditions initiales coïncident identiquement, qu'on 

 prenne comme instant initial t^ ou /< ; les fonctions rjj^(^t^ ont donc même 

 valeur pour t = t^^^ et / = /^ -1- 9 = /„ + A -i- 6; autrement dit, elles ad- 

 mettent la période h. c. q. f. d. 



» Il résulte d'ailleurs de la première remarque que les rjj^ sont des 

 fonctions paires de (^ — t^) et de (/ — Z, ). 



» 3. Ces remarques faites, admettons qu'à un instant t^ le système S 

 reprenne la configuration qu'il possédait à l'instant initial /q = o^ où on l'a 

 abandonné sans vitesse. Le théorème des forces vives nous donne ici, en 

 appelant T la demi-force vive de S, 



T,~T„=U,-Uo. 



d'où (comme T» et U, — Uo sont nuls) T, = o. Les vitesses de S sont donc 

 nulles à l'inslant t^ et, d'après les remarques précédentes, les rj^{t') sont des 

 fonctions paires de t qui admettent la période /,. Il suit de là aussitôt que 



les r'jj^Çt') sont des fonctions paires de / ^ et que leurs dérivées r'/.Çt) 



sont nulles pour t = -. Je dis qu'à cet instant - toutes les vitesses de S sont 



nulles. En effet, à cet instant —, les vitesses de S sont les mêmes que si S 



était un solide dont le centre de gravité G est fixe; soit donc (Gw) le 



segment de rotation instantanée qui définit ces vitesses. A l'instant —, le 



moment des quantités de mouvement de S par rapport à la demi-droite Gw 

 est égal à (ol (I moment d'inertie de S par rapport à Gw); or le moment 

 des quantités de mouvement de S par rapporta G est un vecteur invariable 

 (^théorème des aires); puisqu'il est nul pour ^ = o, il est constamment nul 

 et (ol doit être nul, c'est-à-dire que w = o. c. q. f. d. 



» A l'instant —, les vitesses de S sont donc nulles: les coordonnées a?, 



y, z des points M de S sont (remarque i'') desfonctions/)«ï>e^ de it -); 



elles ont donc même valeur pour t = o et t = tf', à l'instant /, , S a repris 

 non seulement sa configuration initiale, mais sa position initiale par rapport 

 aux axes Gxyz, donc son orientation initiale. 



)) La proposition énoncée est démontrée. Il résuUe de la démonstration 

 qu'un système S conservatif, qui n'est soumis à aucune force extérieure et 

 qu'on abandonne sans vitesse, ne peut reprendre sa configuration initiale 

 orientée autrement qu'au départ. 



)) 4. Nous avons supposé que chaque élément de S restait identique à 



