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OÙ Q(œ,y,z-) est un polynôme s'anniilant j30iir la courbe double de la 

 surface, a ses périodes fondions de j^ satisfaisant à une équation différen- 

 tielle linéaire E d'ordre 2p, dont le groupe ne dépend que de la surface. 

 J'ai démontré antérieuremelit à son sujet la propriété fondamentale que 

 la courbe (i) entre œ el z possède r cycles distincts donnant des périodes 

 qui sont des polynômes en y si l'on désigne par r\e nombre des intégrales 

 de différentielles totales distinctes de seconde espèce de la surface pro- 

 posée. La réciproque est exacte. Ces r cycles sont d'ailleurs r cycles 

 linéaires distincts de la surface algébrique/. 



2. Ces propriétés rappelées, j'énonce encore un théorème facile à 

 établir sur les intégrales abéliennes de première espèce d'une courbe algé- 

 brique de genre p. Soient 



q intégrales de première espèce distinctes d'une telle courbe : le nombre 

 des périodes arithmétiquement distinctes d'une combinaison linéaire arbi- 

 traire de ces intégrales ne peut être inférieur à iq. 



3. Revenons maintenant à la surface (1). Dans sa théorie du genre 

 numérique p^ d'une surface, M. Enriques désigne par 



i»h (h^m — 3) 



le déjaut du système de courbes découpées sur un plan arbitraire par les 

 surfaces adjointes à /d'ordre /s; à partir d'une certaine valeur de A, on a 

 o;i= o. M. Enriques a montré qu'en désignant par pg le genre géométrique 

 et par p^ le genre numérique de la surface f, on a 



(3) Pg — Pn=y^^hy 



m — Z 



la sommation étant étendue depuis h = m — 3 jusqu'au moment où to/j est 

 nul. J'ai reproduit sa démonstration dans ma Théorie des fonctions algé- 

 briques de deux variables (t. II, p. 88). 



En désignant, comme habituellement, par/? le genre d'une section plane 

 arbitraire de la surface, nous pourrons évidemment former p — w^- 3 inté- 

 grales distinctes de première espèce de la courbe (1) entre x et z, qui 

 seront de la forme 



(4) JQjA^Eij^ (k = i,^ A- -",„_,), 



où Q;t= o est une adjointe d'ordre m — 3 de la surface. 



