SÉANCE DU 3 JUILLET 1905. -7 



Or il y a r périodes distinctes de (4) qui, d'après le théorème rappelé 

 au n" 1, doivent être des polynômes en y. Mais on voit de suite que toutes les 

 périodes de (4) s'annulent pour y =: co (d'après le degré de Q). Ces r po- 

 lynômes sont donc identiquement nuls, et l'ensemble des intégrales (4) 

 n'a donc que ip — r périodes distinctes au plus. 



Nous pouvons alors appliquer le théorème du n** 2, ce qui donne 

 l'inégalité 



c'est-à-dire 



Telle est l'inégalité que je voulais établir, et qui appelle une remarque 

 importante. 



4. M. Castelnuovo a récemment établi la relation très remarquable 



et ce résultat a été retrouvé de manières différentes par M. Severi et par 

 moi (voir Comptes rendus, 16 janvier, 23 janvier et 3 avril igoS). Or la 

 comparaison de (5) et (6) conduit à 



Mais comme, d'autre part, d'après (3)/?^ ~ p,i n'est pas inférieur à to„,. 3, 

 il faut conclure à l'égalité inattendue 



(7) Pg-Pn=^0„,^3' 



Ainsi tous les (ù/^i^h^m — 2) so/it nuls. 



Cette relation m'a étonné, car je croyais qu'il y avait des surfaces pour 

 lesquelles tous ces w n'étaient pas nuls, comme on pouvait le présumer 

 d'après les Mémoires de M. Enriques, Aussi ai-je communiqué mon résul- 

 tat à l'éminent géomètre; mais il m'a répondu qu'il ne, possédait pas 

 d'exemple de surface pour laquelle on ait 



co/, :^ o(h'r:m — 2), 



quoiqu'il en eût autrefois cherché. On voit que c'est par un détour singu- 

 lier que j'arrive à la relation (7); il serait à désirer qu'on la confirmât par 

 une démonstration directe purement géométrique. 



.5. La surface/possède2co,„_3 intégrales de différentielles totales de seconde 



