12 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



,ctj,+ ^, c'est-à-dire t et x; ce qui donne les équations définitives 



(5) 



ti'{j>,V) __ ^d'{p,V) 



(0 



dt'^ dx 



Ce sont celles de M. Allievi, avec la valeur de la célérité ou vitesse de pro- 

 pagation is> qui résulte de (2). 



IV. Mais reconnaissons qu'elles subsistent, quand la colonne liquide est 

 déjà, au moment 011 d'assez rapides changements de la pression l'atteignent 

 près d'une section £)? = o, en train de couler par filets rectilignes et paral- 

 lèles inégalement rapides, animés de vitesses m^ comparables à celles que 

 vont produire ces changements et, par conséquent, toujours très petites à 

 côté de la célérité w. C'est ce qui arrive, par exemple, quand la longueur 

 du tuyau est suffisante pour que les petits frottements des filets et de la 

 paroi, quoique négligeables sur des parcours x comme ceux que nous con- 

 sidérons ici, aient établi, concurremment avec une petite yoe/z^e motrice ainsi 

 neutralisée par eux, un régime uniforme dans la région des x positifs. 



Alors la première équation d'Euler, u' = ~ ~ "T"' ^^^ applicable aux 



mouvements ondulatoires survenus assez vite: car les frottements et la petite 

 composante de la pesanteur suivant les x (ou le petit décroissement ana- 

 logue de la pression) y sont relativement insensibles. Or, les' vitesses engen- 

 drées u — Uq étant encore censées principalement longitudinales, la pres- 

 sion yo et, par suite, la densité p, continuent à ne dépendre guère que de x 

 et de t. Donc l'accélération u' est encore commune à toute une section g et 

 même (vu la rapidité de la propagation comparativement à la différence des 

 parcours effectifs ]i\s(\i\ k l'instant /), commune à tout le fluide d'une région 

 de longueur modérée. Les accroissements u — u^ de vitesse sont, par suite, 

 pareils pour tout ce fluide et égaux à leur jnoyenne, U — Uq (à très peu près), 

 dont la dérivée en t, prise sur place, exprime, dès lors, sensiblement u' . 

 Ainsi, la première équation d'Euler devient 



/ /- \ d\J i dp / . ^ , . \ 1 dp 



<^^> -^^-p^^ (a très peu près) - - ^- 



Faisons, d'autre part, dans l'équation usuelle — y^ H '—— = o de la 



conservation des masses, p = p J i + ^ ) et cr — ay ( i -h ~ pj, formules 

 dont la première est évidente et dont la seconde résulte de (i). Il viendra 



