170 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



J'ajoute en terminant, et quoique cela paraisse presque inutile, que le 

 procédé d'éludé préparatoire est applicable aussi, et dans les conditions 

 les plus voisines possibles de la réalité, aux. passages sur le Soleil des pla- 

 nètes Vénus et Mercure. 



GÉOMÉTRIE. ~ Sur les propriétés infinitésimales de V espace non-euclidien. 



Note de M. C. Guiciiaud. 



Les méthodes que j'ai dévelopjiées dar^s mon Mémoire Sur les systèmes 

 cycliques et orthogonaux (^Annales de V Ecole Normale supérieure, iSq^, 

 1898, 1902, 1903) permettent d'étudier l'espace non-euclidien et de 

 donner une solution immédiate d'un très grand nombre de problèmes 

 relatifs à cet espace. Il suffit d'appliquer cette remarque : 



La géométrie elliptique non-euclidienne (dans la plupart des questions il 

 n'y a j^as lieu de distinguer entre la i;éométrie elliptique et la géométrie 

 hyperbolique) est identique à la géométrie métrique de direction dans l'espace 

 à quatre dimensions. 



En effet, soit M un point qui n'est pus situé sur la (juadrique fondamen- 

 tale ; Xi, x^j ^"3, ^4 ses coordonnées non-euclidiennes, liées par la relation 



x\ + xl-{- x'î -+- x'I =■ I . 



Si le point M décrit un réseau, ses coordonnées sont solutions d'une 

 équation de la forme 



= P 1- -I- Q -y- 4- )XX. 



rit/ ^- /-èej 



au di' du ^ de 



Il en résulte que les x^ sont les cosinus directeurs d'une droite qui décrit 

 une congruence dans l'espace à quatre dimensions. 



Soit maintenant D une congruence, A et B ses foyers; désignons par x^, 

 X.2, a?3, a?., les coordonnées non-euclidiennes de A, par j,, j^, J3, y. celles 

 de B; on aura, en supposant toujours la congruence rapportée à ses déve- 

 loppables : 



y ^ \ OU ( -V^ «7 



P, Q, R, S étant lies fonctions de u et de {> ; ces formules montrent que, 



