SÉANCE DU 17 JTIILLET T905. f^X 



(hiris l'espace à ruialre, les droiles qui ont pour cosinus directeurs les Xj et 

 les _r/ sont les tanijentes d'un réseau. Donc : 



A une congniencc ou à un réseau de l'espace à quatre dimensions corres- 

 pondent un réseau ou une congruence de l'espace non- euclidien et vice i^ersa 

 (on ne considère pas comme distincts des éléments parallèles dans l'espace 

 à quatre). 



Des formules (i) on déduit le résultat suivant : 



Si un réseau et une congruence de l'espace à quatre sont en relation focale, 

 il en est de même des éléments qui leur correspondent. 



Enfin on établit facilement la propriété suivante : 



Si un réseau et une congruence de l'espace à quatre sont conjugués ou har- 

 moniques, les éléments qui leur correspondent sont respectivement harmoniques 

 ou conjugués. 



Il reste à indiquer les éléments de l'espace non-euclidien qui corres- 

 pondent à certains éléments particuliers de l'espace à quatre dimensions. 



Depuis lono^temps déjà [voir mon Mémoire Sur la déformation des sur- 

 faces (Journal de Mathématiques, 1896, i'"'' Partie, §§4 et 12)], j'ai remarqué 

 qu'un déterminant orthogonal : 



r,, 



dans lequel on a les relations 



(2) 



du 



= al. 



du 



eCi 



n-Ai 







dv 



àr\i r 



au 



(« = I, 2,3.4), 



ce qui entraîne les conditions ; 



/ ôa j de 



(3) 



j vu 



du 



du 



d. -=>' 



en. 



, ^ dm dn 



ah + e / + _ ^ — o, 



•' dv du 



peut être interprété, soit au point de vue non-euclidien, soit au point de 

 vue de la géométrie dans l'espace à quatre dimensions. 

 Au point de vue non-euclidien, les points 



k{x^,x.,,x„x,) et B(j,,7j,x3, y,) 



