178 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



a'>>o et assez petit, une intégrale de (i), soit j = ^(^). Soit n(x) une 

 solution approchée; nous supposons u(.x) définie pour oSx'Sh. Posons 



(2) ..>\u"-/(o,,u,u% Yo=ljo-«(o)|, Y;=|y„_z/(o)I; 



les nombres a, ¥„, Y^ sont petits. 



Soit A le domaine défini par o'Sx^h, u — £5j<m + e, u' — t' ^y"^ii! -\- 1'-, 

 nous supposons £>Yo, £'> Yj,. Admettons que, dans A, /( a?, 7, y) soit 

 finie, continue par rapport à œ, sauf peut-être pour des valeurs isolées 

 de £Cy et satisfasse à la condition de Lipschitz 



i/(^»7'y)-/(^'j^'/ji<«i/-yj + ^i7-7, |. 



Appliquons la méthode de M. Picard : remplaçons dans le second membre 

 de (i) jety par u et u\ déterminons l'intégrale u^(x) de l'équation ob- 

 tenue, telle que m<(o)— j^» ^'<(^)— Jo* Recommençons en remplaçant j 

 et y par u^ et ii[ , nous obtenons u^, et ainsi de suite. 



2, L'étude des séries formées par les différences w,-— w,_, et leurs déri- 

 vées u'^ — u-_^, conduit à envisager l'équation 



(3) , Y"=aY'H-èY + a, 



qui, dans le cas qui nous occupe, joue le rôle de Z dans le cas général. 

 Soit Y = F(œ; Yq, YJ, ; a, b, cf.) la solution de (3) telle que, pour x == o, 



âY 



Y et Y' = y- prennent respectivement les valeurs Yq et Y„ du n** 1. Quand 



les six variables dont elle dépend sont positives, la fonction Y est positive 

 et croissante; il en est de même de ses dérivées. Pour Y^ = Y^ ^ a = o, 



Y est identiquement nulle. 



3. Le champ de convergence de la méthode de M. Picard s'étend au moins 

 de zéro à h', h' étant inférieur ou égal à h et à la plus petite racine positive 

 des équations Y = s, Y'= t'. 



Dans l'intervalle o h\ les erreurs y — w, y — u' sont inférieures en valeur 

 absolue à Y et Y' . Il est facile de déduire de là, dans le cas particulier où 

 a est nul, la continuité des intégrales de (i) par rapport aux données 

 initiales. 



En partant d'hypothèses sur la solution exacte, on peut chercher des 

 conditions suffisantes pour que l'erreur correspondant à une solution 

 approchée ne surpasse pas une limite donnée à l'avance. M. Severini a 

 montré, dans la seconde de ses Notes citées plus haut, que ce problème se 

 ramène au précédent. 



