SÉANCE DU 3l JUILLET IQoS. 3o3 



nées est quelconque. Particularisons-le en le faisant coïncider avec celui des 

 lignes (le courbure. Choisissons, en outre, les sphères S< et So, de manière 

 que les cercl(\s d'intersection de ces sphères avec la sphère S., soient 

 respectivement tangentes en M aux lignes de courbure u = const. et 

 (; = consl. De là résultent les égalités 



7) + [Xï = O, l^-+- il^ = O, p = O, q^ = O. 



L'élément linéaire de la surface est alors donné par la formule 



ds- = M (A- du- -h C- f^"), 

 dans laquelle M est un facteur inconnu et où l'on a posé, pour abréger, 



'i-\-i\ = A, '/), + ï|x, = C. 

 Soient^' et Si." les ^il des sphères principales. On a 



^ 7 Pi 



Envisageons les sphères qui, passant par 1^ point M, ont pour centres les 

 centres de courbure géodésique des lignes de courbure qui se croisent en 

 ce point. Ces sphères (qu'on pourrait appeler les sphères gèodèsiques) sont 

 conservées dans l'inversion. Elles sont définies par les équations 



C{ X^ + ^% + ?'^5 = o, (j"iP2 + ^', + ^^5 = <^^N 



dans lesquelles 



(^) 





Les sphères S, et So sont encore j)artieilement indéterminées; achevons 

 de les définir en les faisant passer par le second point de contact M, de la 

 sphère S3 avec son enveloppe. Nous aurons alors 



'C = "C, = V = V, = o. 



Les sphères S, et So étant choisies comme il vient d'être dit, envisageons le 

 cas où les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes 2 et 2, 

 de l'enveloppe de Sj. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'on ait 



\, —'I] = A, = ^, = o. 



