SÉANCE DU 3l JUILLET IQoS. 3o5 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les propriétés d'une fonction holomorphe 

 dans un cercle où elle ne prend pas les valeurs zéro et un. Note de M. Pierre 

 BouTRoux, présentée par M. Poincaré. 



1. M. Landau a démontré le théorème suivant (*), qui se présente 

 comme une généralisation du théorème de M. Picard sur les fonctions 

 entières : 



Soit une fonction entière 



(i) Y{x) = a^^-\- a^x->^ a^x' -^ ... 



et soit a^^ o, a^ :^ i , <?., :^ o. // existe un nombre R indépendant des coeffi- 

 cients «;,, «4, . . ., c est-à-dire fonction de a^ et de a^ seulement, tel que F (a?) 

 prenne sûrement l'une des valeurs o, i dans le cercle de rayon R ayant son 

 centre à l'origine. 



J'ai été conduit depuis lors à quelques remarques d'un caractère ana- 

 logue, que je vais résumer dans cette Note. 



2. Je m'appuie sur le lemme suivant : 

 Lemme. — Soit une fonction entière 



<p(^) z=i -\- y.^X -^ aoiC^ + 



Posons 



\x\ = r, 011 (r) = I -h I a, I r 4- ! aa I r^ 4- . . . 



et appelons A(r) la plus grande valeur positive de la partie réelle de (!^(x)pour 

 I ^ I = r, A(r) étant assujetti à être par exemple plus grand que lo. Quel que 

 soit r, on a (") 



OlL(ôr)<ioA(r)logA(r) pour 6<i 



logA(r) 

 3. Soit maintenant une fonction ¥(x), holomorphe dans un cercle C de 



(*) Landal', Ueber eine Verallgemeinerung des Picardschen Satzes {Sitzungsbe- 

 richle d. k. pr. Ak. d. W ., juillet 1904)- 



(*) La démonstration de ce lemme résulte de formules données par M. Borel dans 

 son Mémoire Sur les zéros des fonctions entières {Acta mat., t. XX). 



C. R., 1905, 2» Semestre. (T. CXLI, N° 5.) 4^ 



