3o6 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



rayon (') R (i <^ R <^ 2), ayant son centre à l'origine et ne prenant dans ce 

 cercle ni la valeur o, ni la valeur i. Dans le cercle C, logF(a:) est une 

 fonction holomorphe qui ne prend pas les valeurs o, 2ï-, l\iT,, .... De 



même log ^ . — -^=Y^{x) est une fonction holomorphe qui ne prend 



dans C aucune des valeurs 



( • • • » nQ_2 '^—- 2 iTT, "'0, ^~^ ^' 0, 2 2.17: , • ' • f 



(!) ]..., ^2,-2 = log2 — 2i-, ^2,0=1*^^2, ^0.2 = 'og2 -t- air:, ..., 



Comme on a passé de F(cc) à F,(a7), on passera de F ^(x) à une fonction 

 F2(^), et ainsi de suite. On constate que, dans un cercle concentrique à C 



_r> 



et de rayon ^) les modules maxima (pour |a:;| = r) des fonctions F, F,, Fg, ... 



vont en décroissant avec une rapidité que le lemme nous permet d'évaluer. 

 D'autre part, on peut déterminer un point cCq intérieur à C, tel que dans 

 un cercle T de centre x^, F(^) soit une fonction holomorphe donnée par 

 le développement 



Y(x)= b^-h b^(x —Xo)-h.'., 

 avec 



M(r) désignant le module maximum de F(ir) pour |.T|^r. 



Ces deux remarques permettent de constater, par un raisonnement 



(o t) \ 

 — ] 



dépasse une certaine valeur ^l,, laquelle dépend exclusivement de F(o). 



En d'autres termes : Si, dans un cercle C de rayon R, la fonction holo- 

 morphe F(a;) ne 'prend ni la valeur o, ni la valeur i , le module maximum (-) 



(^) En faisant au besoin un changement de variable x'^^Xx^ j'ai bien le droit de 

 supposer que i <C H <; 2. 



(^) Le nombre \ peut d'ailleurs être remplacé par un nombre quelconque inférieur 

 à I. 



