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pratiquement inexécutable, de pouvoir être rendues, à volonté, de plus en 

 plus convergentes et enfin d'être propres indistinctement à la représenta- 

 tion de fonctions analytiques ou non. 



Soit k un entier positif et considérons l'intégrale double 





* dq dz 



Intégrer par rapport à q seulement entre — a -\- z et a — s, ce n'est 

 retrancher qu'une partie infiniment petite avec e et cela permet de déve- 

 lopper en toute sécurité la parenthèse en q par la formule du binôme. 

 Posant alors 



(2) F(a.) = r r'y(=)e'«--"^. 



l'intégrale précédente peut s'écrire 



(2A- — i) F"(^) (2A- — i)(2A- — 3) F-(^) 



F(^) 



2.4 



Si a devient infini, cela se réduit à F(a:^), c'est-à-dire à f{pc)y car (2) 

 devient alors l'ordinaire formule de Fourier. L'intégrale (i) tend donc 

 vers /(cc^ quand a tend vers l'infini. Il y a là, premier point intéressant, une 

 généralisation de la formule de Fourier et, pour que le résultat souligné 

 subsiste, il suffit que fi^oc), dans l'intervalle — 1,-^1, satisfasse aux condi- 

 tions habituelles dites conditions de Dirichlet. Exprimons maintenant (i) 

 autrement en développant l'exponentielle. Posant 



(3) Vj{x)=£^f{z){x-zydz, 



et n'écrivant que les termes non détruits par leur imparité, il vient 



Or, la théorie élémentaire des fonctions eulériennes donne 



