SÉANCE DU 3l JUILLET I9o5. 809 



et nous avons [)oi,ir (i) le nouveau développement 



n = 00 



^ ' -^ 2-K Jmai^ ^ \ 2 2/(2«)! ^ ^ 



qui, quel que soit k, doit tendre vers/(^) quand a tend vers l'infîni. 



Étudions sur elle-même la convergence de cette série. On peut séparer 

 l'intervalle — /, -f- / en d'autres 011 les V.^^(^x) conservent un signe inva- 

 riable, et, comme la série précédente est alors alternée, il suffit de vérifier 

 que les termes décroissent à partir d'un certain rang. Or on peut disposer 

 de k pour qu'il en soit ainsi à partir d'un rang arbitraire, quelque grand 

 que soit a. En résumé, soient 



deux suites indéfiniment croissantes et l'on aura 



f{x) = S(«,, A-,) + [S(«,, /fO - S(a,, /(-,)] -h \^ia^,k^) - S(«„yt,)] -f-.... 



On voit que les séries de polynômes ainsi déterminées ont le même 

 caractère de généralité que celles connues jusqu'ici. Si x est une variable 

 complexe ces résultats subsistent, car rien dans ce qui précède ne suppose 

 essentiellement que x soit réel; toutefois, quelques détails complémen- 

 taires, négligés ici faute de place, tendraient à faire exclure de tout le 

 plan de convergence quelques régions particulières comme l'étoile de 

 M. Mitta2:-Leffler. 



Remarquons en terminant que les coefficients B des séries S (a, k) seront 

 toujours d'un calcul très simple, B s'exprimant au moyen de T par une 

 formule connue et les fonctions Y elles-mêmes s'exprimant simplement et 

 rapidement, de façon approchée, pour de grandes valeurs de leur argu- 

 ment. On voit encore qu'on pourrait généraliser en prenant pour k un 

 nombre non entier ou encore en remplaçant dans (i) q^ar- par q^'a'"'. Les 

 coefficients B seraient alors irrationnels, tandis qu'ici ils ne contiennent, 

 tout calcul fait, que le facteur x que son inverse détruit immédiatement. 

 Enfin, on peut, dans les solutions de Cauchy-Fourier des équations de la 

 Physique mathématique, substituer des intégrales (1) à des intégrales (2), 

 d'où de nouve:>ux développements en séries de polynômes pour les solu- 

 tions en question. 



