SÉANCE DU 28 AOUT igoS. 



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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation différentielle du quatrième ordre. 



Note de M. Gaston Darboux. 



Dans l'étude d'une question d'Analyse j'ai rencontré l'équation diffé- 

 rentielle du quatrième ordre 



(>) 



= 1, 



où y^ désigne la dérivée /î"^™^ de la fonction inconnuey par rapporta la va- 

 riable indépendante x. Je me propose de montrer que l'on peut ramener 

 cette équation du quatrième ordre à une autre du premier ordre qui s'intègre 

 à l'aide d'une méthode que j'ai fait connaître autrefois (^Comptes rendus, mars 

 et avril 1878, et Bulletin des Sciences mathématiques, 1^ série, t. II) et qui 

 permet de construire l'intégrale générale à l'aide d'un certain nombre de 

 solutions particulières. 



Je remarquerai d'abord qu'en vertu des propriétés les plus élémentaires 

 des déterminants, l'équation proposée peut se mettre sous la forme 



{yy"-y"){yy"'-~y"-) 



Si donc on pose 



{yy"-y'y'y=y- 



on aura 



^=yy -y 



-> .,.,'11 ^,' „.," ^" 



^ =yy —y y ' - 



et l'équation proposée pourra être remplacée par le système 



-yy''-y"'' 



(^) 



yy 



rrr-" 



y- 



^'2 



= /' 



qui a quelque analogie avec celui auquel satisfont deux des fonctions kl de 

 M. Weierstrass, et qui est parfaitement symétrique en jk et z. De là résulte 

 qu'à toute solution y de l'équation (i)i on pourra faire correspondre une 

 autre solution z définie par la première des équations (2). 

 On donne une forme plus simple au système (2) en posant 



0^) 



j = e" 



= e' 



