4l6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ce qui le ramène à la forme 



(4) «"^e''-^", v"=e''-''\ 



Si l'on multiplie les deux équations respectivement par v' — iu' et 

 u' — iv' , on aperçoit immédiatement l'intégrale 



(5) u'v' -u'^- v'- = e^-^'^^- 6"^^"+ 3a, 



où a désigne une constante. Remplaçons les exponentielles par les quan- 

 tités égales u", v" et éliminons la fonction ç^ au moyen de la première des 

 équations (4), nous serons conduits à l'équation 



m'" -h du"^ -f- 3u'u"' + 3 a u" -h 3 u'^ u" = o, 



qui s'intègre immédiatement et donne 



(6) u'"-h3u'u"-hu'^-{-3oiu'-\-^ = o, 



P désignant une nouvelle constante. Or on sait qu'en prenant comme 

 variables indépendantes u' et u", l'équation précédente se ramène à la 

 suivante 



du" 



(7) ?/'-7-7 H- 3w'm"+ w''+ 3aM'H- p = O. 



La réduction annoncée à une équation du premier ordre est donc effectuée. 

 Le système (4) étant symétrique en u et en (^, il est clair que l'on devra 

 trouver pour ç^ une équation analogue à l'équation (6). Cette équation est 

 la suivante 



(8) v"' + 3ç'v"-hv"-i-3on^'- [3 = o, 



comme on le vérifie aisément. 



En la laissant de côté, on voit que toute la question est ramenée à l'in- 

 tégration de l'équation (G) ou de son équivalente (7). Quand u sera connu, 

 V sera donné par la formule 



(9) i> = 2.U -h logM", 



déduite de la première des équations (4)- 



Pour intégrer l'équation (7) nous remarquerons d'abord qu'elle admet 

 trois solutions particulières. Désignons par f{ii) le polynôme 



