SÉANCE DU 28 AOUT lÇ)o5. AlQ 



On peut définir des catégories on des groupes de nombres de Liouville 

 tels que, si l'on soumet les nombres d'un groupe aux quatre opérations fon- 

 damentales de l'Arithmétique, on n'obtient que des nombres du groupe 

 ou des nombres rationnels. 



I étant un nombre réel de Liouville, I„ est une réduite (') de I; 



^I r/?,<7 entiers) est une réduite de ^I; i;; est une réduite de P. Les 

 nombres de Liouville I sont les seuls à jouir de la propriété suivante pour 

 une double infinité de valeurs de /i et p : si I„ est réduite de I, I^ ^est 

 réduite de F. Il y a des nombres de Liouville dont aucune réduite n'est 

 une puissance z?^^'"" exacte, quel que soit p. La définition des nombres d^ 

 Liouville qui sont des carrés, des cubes, ... parfaits en résulte de suite. 

 On obtient une analogie complète des nombres de Liouville avec les 

 nombres rationnels ordinaires ou algébriques. Je n'ai pu encore définir 

 le nombre transcendant entier de Liouville. 



Le développement en fraction continue d'un nombre I de Liouville ren- 

 ferme une infinité de quotients incomplets «„+, > QJ {^' analogue à oc, 

 I = a,4-i:a,-f-i: ... +i:«« + "- h= a,-h lia, -^. . .-^ i : a^, les a,, 

 étant réels). Cette condition est nécessaire et suffisante pour que I soit un 

 nombre de Liouville. 



e^(q entier > i) n'est pas un nombre de Liouville, pas plus que les frac- 

 tions continues, quasi-périodiques ou non, à quotients incomplets limités. 



2° Si une irrationnelle I donnée par son développement en fraction con- 

 tinue a une infinité de quotients incomplets > a, quel que soit oc, et si 

 j^(^ ^ j ^ 2, . . . ) sont les réduites deI,^l,oùp,q sont entiers quelconque?^ 

 a une infinité de réduites = ^I„. Ceci a lieu, par exemple, quand I = e. 



Si l'irrationnelle I a tous ses quotients incomplets limités et <a', -I a 



tous ses quotients incomplets limités en fonction dep, q, a'. 



Je suppose que, dans I = ^o -h i : a, +...4- i : a,. -h.--, «« — ^aC'^'"'^'") (') 



(1) Chaque fois que. je fais intervenir le développement en fraction continue de I, 

 je suppose I réel. 

 (^) Je pose 



rf„(.r) = ^, d,{x)^d-,d,{j:) = d"^(-\ ...; rf_i(.r)r=loga;, ^_,(^) r= log log^, ..., 

 les logarithmes étant pris dans le système de base d. 



