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Nous sommes parvenu à résoudre cette question grâce à la Géométrie 

 cayleyenne intrinsèque (voir à ce sujet, dans les Comptes rendus, notre Note 

 du 8 août 1904 ;. 



Changeant les notations, écrivons comme il suit le système précédent : 



OV 



(■•^) 



Jy_ 



dv 



~<r 



-— r=bot. 



\ dv 



Les inconnues sont maintenant a, ^^ y» ° ^t il s'agit de mettre les fonctions de p : ^, 

 </, /■ sous une forme telle que le système puisse être intégré de la manière la plus 

 générale. 



On y parviendra en observant que ce système, où les inconnues a, [3, y, seront 

 censées ne dépendre que de p, est celui que l'on a à intégrer lorsque Ton veut déter- 

 miner, en Géométrie cayleyenne, le mouvement d'un tétraèdre autopolaire par rapport 

 à la quadrique fondamentale dans lequel les vitesses /?, yj, Ç sont nulles, les trois autres 

 ?, q, r étant arbitraires. Soient, comme dans la Note citée, Oj, O2, O3, O4 les sommets 

 du télraèdre. En vertu des relations yj = tj = Ç = o, la droite O4O1 est tangente à la 

 trajectoire du point O4 et la caractéristique de la face O1O4O2 est la droite ©402, 

 laquelle a dès lors une enveloppe. Ces résultats conduisent à la construction suivante 

 du tétraèdre autopolaire le plus général satisfaisant aux conditions indiquées. Suppo- 

 sons qu'on ait exprimé, par des formules débarrassées de tout signe de quadrature, les 

 coordonnées et l'arc cayleyen de la courbe la plus générale, problème qu'on sait ré- 

 soudre par l'applicatian de méthodes connues. On portera sur la tangente, en un point 

 quelconque M de cette courbe, un segment MO4 égal à l'arc cayleyen de la courbe. 

 Cette droite portera le segment O4O2 et la tangente à la trajectoire du point O4 por- 

 tera le segment O4O1. Connaissant les droites O^Oj et O4O2, on achèvera facilement 

 le tétraèdre. Cela posé, si l'on désigne par (x/, r/, Zj, t,) les coordonnées du sommet O/, 

 (^1, ^21 •^.ii "^4)1 • • •) (^1, ^2) ^3; h) seront quatre solutions du système (2) et la solu- 

 tion (a, p, Y, S) la plus générale de ce système sera donnée par les formules 



a = Ui^i-l- U, Ji-l- 113;:,+ Ui^i, 



= Ui^4+ 112/4+1)3^4+ U4/4, 



dans lesquelles Ui, U,, U3, U4 sont des fonctions arbitraires de u. 



Lorsque /•i=/i=:o, toutes les lignes de courbure des surfaces orthogonales aux 

 cercles r sont des cercles géodésiques et la détermination intrinsèque du système cy- 

 clique est intermédiaire. 



