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En particulier, si i = i , ?7i = p — i , on aura 



S, = VS,,-4-(-i)''-^S^,,. 



Pour plus de sinfiplicité je me placerai dans cette dernière hypothèse et 

 je donne ci-après diverses jîropositions qui sont la généralisation de celles 

 développées dans une précédente Communication. 



Premier cas. — Tt^mX, c'est le cas qui correspond à la fraction périodique simple. 

 Dans ce cas les rapports successifs Si : S, : S3 : . . . : S^ sont égaux, à la racine de plus 

 grand module de l'équation caractéristique 



Ce rapport unique est en conséquence bien déterminé et convergent sur tout le plan 

 complexe sauf sur les courbes ou portions de courbes formant coupure pour lesquelles 

 l'équation ci-dessus possède deux ou plusieurs racines ayant le même module 

 max.imum. 



Deuxième cas. — Admettons que, pour /i =:co, Ip tende vers une limite bien déter- 

 minée "k et que l'équation caractéristique 



p-ï 



Y/^=XY + (— i) 



ait, quel que soit ^, q racines ayant le même module maximum (i < ^ 5 /?). 



Dans ce cas, si a, est l'une quelconque de ces g racines, ou aura sur tout le plan 

 complexe 



O) O2 bp 



les P^ (/, 3 = 1 .2. . ./>) étant des fonctions entières dont on peut déterminer une 

 limite supérieure de l'ordre apparent et dont le déterminant est égal à l'unité. 



Troisième cas. — X„ a pour limite une quantité ou un polynôme X autre que ceux 

 considérés dans le paragraphe précédent. 



Dans ce cas, l'équation caractéristique 



Y/':=XY + (-l)/^-» 



a en général une racine a de module supérieur à toutes les autres, sauf cependant sur 

 certaines courbes ou portions de courbes formant coupure. On aura alors sur tout le 

 plan complexe (sauf sur ces coupures) 



P] a 4- P^ a'-^ + . . . -h P/'a/^ :S P-^ a-/ "' L \%y.J 



les P^ étant, comme ci-dessus, des fonctions entières dont le déterminant est égal à 

 l'unité. 



