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d'où l'on voit ce qui distingue les courbes caractéristiques de toute autre 

 courbe intégrale (^). 



2. Les ff, y.,f •••»J^«h-i de toute courbe intégrale satisfont aux équations 



(« = i,2 n; A == I, 2, 3, ..,,7^). 



3. Les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles sont soumises 

 les y de toute courbe intégrale peuvent se mettre sous la forme 



(3) V = o, ^^~a, = o, 2^(^]^A=« (. = 1,2,...,/.) 



[des conditions (3) je déduis les conditions (i)]. En posant -^~ = — bi 

 et en différentiant, je prends pour les équations (3) les équations 



" àY ^, _ dV , y d\ y, . y d 



n \ \T ^ V ^^ ^' C'Y ,, C'Y ,, V^ C / (Jai \ , 



Ce sont précisément les équations dont est parti M. Bottasso. 



4. Les équations (3) nous montrent que, si l'on impose aux a la restric- 

 tion d'être des constantes, les courbes intégrales correspondantes sont les 

 caractéristiques de la surlace correspondante. C'est un cas très particulier, 

 mais on pourrait déduire des équations (2), (3) ou (4) des familles diffé- 

 rentes des courbes intégrales si l'on assujettit les fonctions arbitraires a à 

 d'autres relations convenablement choisies. 



5. Dans la Note citée j'ai remarqué que, dans le cas où /i = 3, on ne peut 



T 1 . • aV a-V a^Y 



pas dire que les équations V = o, — = o, -— p = o, — - = o donnent la 



i t- i. Aa ' Aa- Aa^ 



solution la plus générale, V étant le premier membre de l'équation V = o, 



(') Comparer Darboux, Sur les solutions singulières des équations aux dérivées 

 partielles {Mémoires des Saiants étrangers à l'Académie, 2" série, vol. XXVII, 

 i883, p. 25-26). 



