SÉANCE DU 9 OCTOBRE IQoS. 5gi 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Groupes contenant plusieurs opérations 

 de l'ordre deuxième. Note de M. G. -A. Miller, présentée par M. Jordan. 



I. Si toutes les opérations (sans compter l'identité) d'un groupe sont 

 d'ordre deux^ le groupe est abélien et de type (i, i, r , ...)(*). Dans cha- 

 cun des autres groupes il y a au moins un quart des opérations ayant des 

 ordres excédant deux. 



S'il y a exactement un quart des opérations d'un groupe (G) qui aient 

 des ordres excédant deux, G est le produit direct du groupe octique (^) et 

 d'un groupe abélien d'ordre 2* et de type (i, i, i, ...). S'il y a exactement 

 la moitié des opérations de G qui soient d'ordre deux, G est de l'ordre ih 

 {h étant un nombre impair) et il contient un sous-groupe abélien (H) 

 d'ordre h. Toutes les opérations de ce G qui ne sont pas en H, c'est-à-dire 

 toutes les opérations de G — H, sont d'ordre deux et transforment chaque 

 opération de H dans son inverse. Si G est un groupe qui ne soit pas dérivé 

 de celles de ses opérations qui ont des ordres excédant deux, ces opéra- 

 tions engendrent un sous-groupe abélien H qui est composé de la moitié 

 des opérations de G. Les opérations de G — H sont d'ordre deux et trans- 

 forment chaque opération de G en son inverse. Quelques-uns des résultats 

 ci-dessus dépendent directement du théorème suivant : 



Un groupe abélien peut se définir comme étant un groupe dans lequel chaque 

 opération peut se transformer dans son inverse par la même opération. 



II. Soit G un groupe non abélien d'ordre 2'" dans lequel plus de la moitié des opé- 

 rations soient de l'ordre 2. On a vu qu'au moins un quart des opérations de G sont 

 d'ordre >-2. Nous prouverons que le nombre de ces opérations est toujours de la 



2* — 1 

 forme • — -^z~r 01 S *^'-ant d'ordre de G. De plus, on sait qu'il y a des groupes pour 



chaque valeur de a > 0. Le type possible de ces groupes, quand a = i, a été men- 

 tionné ci-dessus. Quand a zz: 2, tous les types possibles ont été déterminés récem- 

 ment. 



Le groupe quotient de G correspondant à son sous-groupe commutateur doit être 

 du type (i, I, I, . . .), puisque ce groupe quotient est abélien et plus de la moitié des 

 opérations de G sont d'ordre 2. Soit I représentant le groupe quotient de G corres- 

 pondant à un sous-groupe invariant composé de la moitié du sous-groupe commutateur 



(*) Quarterly Journal of MathematLcs^ Vol. XXVII, i8g4, p. 99. 

 (^) PlERPONT, Annals of Mathematics, Vol. I, 1900, p. \[\o. 



