592 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



de G. Le sous-groupe commulateui' de I est d'ordre 2. Dès lors, son groupe d'isomor- 

 phismes cogrédients est d'ordre 2^" (*). Toutes les opérations d'ordre 4 contenues 

 dans ce sous-groupe ont le commutateur d'ordre 2 pour leur carré. Si Ii représente le 

 sous-groupe de I qui est composé de toutes les opérations de I commutatives avec 

 quelque opération non-invariante d'ordre 2 en I, donc Ii est d'ordre 2'"* ; 2' étant 

 l'ordre de I. Le groupe d'isomorphismes cogrédients de Ii est d'ordre 2^^"—'', et exac- 

 tement la moitié des opérations en I — Ii sont d'ordre 2. En répétant ce raisonnement 

 on voit que le nombre des opérations d'ordre 4 en I est 



II I \ /_ 2"— I / 



- -h g -+-...+ ^^^J 2 -^i^^rr"^ • 



Supposons que le nombre des opérations dont l'ordre excède 2 dans le sous-groupe H 



2°' — I 

 de G, lequel correspond à Ij, soit de forme ^_^^ h. Il est clair que a > /i — 2. Si les 



opérations de G qui correspondent aux opérations d'ordre 2 en I — Ij renferment 

 quelque opération dont l'ordre excède 2, le nombre de ces opérations ne peut pas être 

 moindre que 2'"~""~^, puisqu'une telle opération d'ordre 2 est contenue dans un sous- 

 groupe de I lequel est d'ordre 2'-'* et ne comprend aucune opération d'ordre 4- 

 Quand a > /i, toutes les opérations de G, lesquelles correspondent aux opérations 

 d'ordre 2 en I — Ij, doivent être, par conséquent, d'ordre 2, puisque 



2" + l— I I I I 



1 . -1 — — • 



2«+3 2^ + 3 [^ 2' 



c'est-à-dire qu'au moins la moitié des opérations de G seraient d'ordre plus grand 



que 2, ce qui est contraire à l'hypothèse. 



Quand toutes les opérations de G, lesquelles correspondent aux opérations d'ordre 2 



en I — I], sont d'ordre 2, il est clair que le nombre des opérations de G dont les ordres 



2P — X 

 excèdent 2 est de la forme — a , fZ' H reste donc à considérer seulement les cas où a = « 



2p-t-l c- 



OU. n —i. Dans le premier cas, le nombre serait de la forme requise, puisque 



- 1 rr 



,7t-+-2 ^^ 2""*"* 4/ * 



est la forme requise. Dans le dernier cas, le nombre de ces opérations serait encore de 

 la forme requise, puisque le nombre des opérations de G d'ordre plus grand que 2 et 

 correspondant aux opérations d'ordre 2 en I — I, serait 2'"-"-^, s'il existait de telles 

 opérations. Ceci prouve le théorème en question, puisque le théorème est vrai pour le 

 groupe octique. 



(') FiTE, TransacLions of ihe American matheinatical Society, Vol. III, 1902, 

 p. 342. 



