SÉANCE DU l6 OCTOBRE igoS. 619 



rayon r, pour lesquels une au moins des branches satisfait à l'inégalité (3), 

 et par Ee l'ensemble des points pour lesquels un au moins des coeffi- 

 cients ki{z) satisfait à l'inégalité 



lA,(^)|>e'n 



nous avons le théorème suivant : 



Tout point de U^ appartient « E^ ( s, > s). 

 Tout point de E^ appartient à U^, (so > s). 



IV. Toutes les branches de l'algéhroïde a(z) satisfont à l'inégalité 



W \a{z)]:>e-^^-\ 



pour une infinité de valeurs de r croissant indéfiniment. 

 D'une façon plus précise : 

 Si Ton exclut du cercle de rayon r certains arcs, dont la longueur totale tend 



vers zéro avec -, comme e''"" (a étant un nombre positi f quelconque et inférieur 



à e), tous les autres points satisfont à l'inégalité (4) et cela pour toutes les 

 branches de a(^z^. 



2. Les résultats bien connus de M. Borel sur la croissance de la dérivée 

 s'étendent très aisément aux fonctions algébroïdes. 



Pour les fonctions algébroïdes d'ordre infini nous établissons des théo- 

 rèmes analogues aux précédents en nous appuyant sur les résultats de 

 M. Borel précisés par M. A. Kraft [voir E. Borel, Sur les zéros des fonctions 

 entières {Aclamathematica, t. XX) et A. Kraft, Inaugural-dissertation (Gôt- 

 tingen, igoS)]. 



Une conséquence immédiate des résultats précédents est Textension aux 

 fonctions algébroïdes du théorème fondamental de M. Borel, qui a servi de 

 base dans nos travaux antérieurs. Nous obtenons donc le théorème 

 suivant : 



V. Une identité telle que 



entraine la nullité de tous les coefficients «/(:;), si les ai(z) désignent des algé- 

 broïdes croissant moins vite que ef"'") et les E^(z) (^) des algébroïdes croissant 

 plus vite que [l>'(r)y^'^, a étant un nombre positif quelconque. 



(') D uae façon plus précise, les clifiTéreuces H,(3) — H/,{z) [i--^ A]. 



