■706 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



arbitrairement. Dans le cas où, quels que soient ©,, ..., (p;^, les quantités (p„ 

 tendent vers une limite © indépendante de «p,, ..., Of^, nous dirons que la 

 relation (i) est convergente. La limite (p sera une racine de l'équation 



(2) oc = F(x, X, . . .). 



Il est aisé de construire des relations récurrentes convergentes. Ainsi la 

 relation 



(3) ?«= )^, 4- ^2?L, + ^s?;!-, + . • . 



convergera si JT^al» l^al» ••• restent inférieurs à certaines quantités. Mais, 

 en revanche, elle cessera de converger lorsque |'Xo |, l'Xj |, ... ne seront 

 plus assez petits : la convergence de (3) n'est donc pas une conséquence 

 directe de la forme de cette relation, mais bien de l'ordre de grandeur des 

 coefficients. 



Cette remarque m'a conduit à me poser la question suivante : n' existe-t-il 

 pas certains types de relations récurrentes dont la convergence soit assurée, 

 quelles que soient les valeurs prises par les paramètres qui y figurent ? S'il 

 existe de telles relations, nous dirons qu'elles sont essentiellement conver- 

 gentes. 



Imaginons, d'une manière générale, que l'on introduise un nombre 

 quelconque de paramètres);,, \ç,, ... dans les coefficients de (2) et de (i) 

 et que F soit fonction holomorphe de ces paramètres et de (p„_,, cp«_2» • ••• 



Soit, d'autre part, si cette limite existe, a, la limite du rapport a„ = 



?«■ 



?"-i — ? 



Nousappe!! orons aco6j(y^cïen^ de convergence de la relation (i). Soit encore a' 



I I 



la limite du rapport — a' sera le coefficient de convergence second 



a„_i a 



de la relation (i), et ainsi de suite. 



Partons d'un système particulier de valeurs des paramètres, pour lequel 

 la relation (i) converge et admette des coefficients de convergence des 

 divers ordres. Je me suis proposé de trouver les conditions nécessaires et 

 suffisantes pour que la relation (i) ne cesse pas de converger lorsque les 

 paramètres varient. Je me borne à énoncer le résultat général auquel je 

 suis parvenu. Les conditions nécessaires et suffisantes sont : 



\° Qu'au voisinage du système initial de valeurs des \, le coejficient de con- 



