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est convergente. En effet, cette relation converge et admet des coefficients de conver- 

 gence au voisinage de «j = «2^- • • = o- Si maintenant nous effectuons le calcul indiqué 

 plus haut, nous obtenons, comme équation (5), l'égalité 



I 9 9/1 I \ 



cp a \ "^ ^ / 



Or cette égalité, jointe à l'égalité 



- = «0 H- «1 ? H- «2?'^ H- • . ., 



exprime que la quantité - est, de même que <f, une racine de l'équation (2) correspon- 

 dant à la relation (6). Donc, d'après notre théorème, la relation (6) converge. La 

 limite cp se trouve être la racine de plus petit module de l'équation (2). On voit sans 

 peine que l'expression de cp déduite de la relation (6) ne diffère pas, en réalité, de la 

 célèbre formule obtenue en 1892 par M. Hadamard. 



Avec les quantités <p„, 9„_i, . . . définies par la relation (6) nous pouvons aussi for- 

 mer des expressions simples convergeant vers les autres racines de (2). Ainsi il résulte 



de (4) que l'expression ^„-^-^^^ J-Hiil converge vers tp(,j. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les réduites d'une certaine catégorie 

 de fonctions. Note de M. H. Padé, présentée par M. Emile Picard. 



Soit fi^oc) la fonction génératrice d'une quantité a^ satisfaisant à l'équa- 

 tioti aux différences fmies, d'ordre/?, 



(l) (ao-h [3o/0^"+ (^•' + P''0^«+) + •• • + (=^/^+ Py^'^)^»+y>=0, 



où les a et les (3 désignent des quantités indépendantes de n. On sait que 

 /(^) satisfera à une équation différentielle, linéaire et du premier ordre, 

 à coefficients rationnels, qu'il est facile de former et que je désignerai 

 par(E). 



Soit V(;.v= 4 + A ^" + • • • + ^[j.-'^^ ^'^i polynôme quelconque de degré p-, 

 et posons 



Vp/ fi-^) = ko -h /t'i^ ~\- /c.,x- -{- . . . ; 



on aura, généralement, 



Grâce à la relation (i), qui permet d'exprimer toutes les quantités a en 



