SÉANCE DU 6 NOVEMBRE igo5. 709 



fonction de p d'entre elles, on pourra éliminer tontes celles de ces quan- 

 tités qui entrent dans les expressions de /,„, X'„j^_,, ..., ^'„i^p, et l'on ob- 

 tiendra une relation de la forme 



(2) Ayî',„ -h BX^„,^, + . . . + L^,„+;, = o 



où A, B, , . ., L sont des polynômes entiers en m, dépendant en outre des 

 cofficients 4, /,,..., /^^ du polynôme Vjjiv. La fonction génératrice de k„^ 

 satisfera donc à une équation différentielle (F), linéaire, d'ordre égal au 

 degré des polynômes A, B, . . ., L par rapport à m, et que l'on pourra éga- 

 lement former. 



Si Vjjv est le dénominateur de la réduite ([^',v) de/(x), et que 



en soit le numérateur, on a 



et il s'ensuit que Y^^.,f(cc) — U,jiv satisfera à l'équation (F). 



Mais les dérivées (ie/(^), grâce à l'équation (E), s'expriment linénire- 

 ment au moyen de cette fonction elle-même. La quantité V^v/(-^) — ^^iv 

 et ses dérivées seront donc des fonctions linéaires de /(ce), à coefficients 

 rationnels en x. En les substituant dans l'équation (F), on obtiendra un 

 résultat de la forme P/(x) -h Q = o, où P est une fonction linéaire de Y^^ 

 et de ses dérivées, à coefficients entiers en x, et Q une fonction linéaire 

 de Vjj,v, Ujjiv et leurs dérivées. 



Si f(cc) n'est pas simj)lement une série récin-rente, on en concbira que 



l'on a séparément 



• P = o, Q = o; 



c'est-à-dire que l'o/i aura deux équations différentielles linéaires auxquelles 

 satisferont les polynômes Vj^,,, et \J^y, la première de ces équations étant relative 

 au seul polynôme Y^.,, dénominateur de la réduite (a, v). 



Par exemple, si l'équation (i) est réduite aux deux premiers termes 

 seulement, la relation (2) est, en supposant v ^[j. -- i, 



[ao+ (m - (x)[3o] {m - v)yî:„,+ (a, + m^,)(m - \J^ - v)^,„,., = 0; 

 la fonction /(.:r) satisfait à l'équation 



