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GÉOMÉTRIE. — Sur les congruences de cubiques gauches. 

 Note de M. Stuyvaert. 



A part deux articles de M. Veneroni (Bend. Cire. mat. Palermo, 1902; 

 Rend. R. Ist. Lomb., 1904) et des résultats isolés obtenus par la Géométrie 

 projective ou énumérative, on ne sait presque rien des congruences de 

 cubiques gauches. Nous esquissons ici une méthode donnant une classifi- 

 cation et une représentation de ces systèmes et s'appliquant à des en- 

 sembles d'un degré plus élevé. 



Soit une matrice ]|a;;t|| à /lignes et à /4-1 colonnes dont les éléments sont 

 des formes linéaires homogènes en ^,, ^o. . . ., a?,/. Elle s'annule pour une 

 variété algébrique à c? — 3 dimensions dans l'espace à d— i dimensions; 



pour d = /4, c'est une courbe gauche d'ordre — —; pour <i=3, un 



groupe de -^^ pomts d un plan. 



Supposons que les coefficients des formes a/j^ soient fonctions, d'ordre 

 Pi -h qki de trois paramètres homogènes a,, ao, ocg que l'on peut considérer 

 comme les coordonnées d'un point a dans un plan. Pour chaque point x, 

 l'évanouissement de la matrice ||«//f|| représente en général un nombre 

 fini [x de points a; {a est une fonction coïif^ijp des p et des q. Les rela- 

 tions \ciij,\ = o représentent donc une congruence de variétés algébriques, 

 et l'ordre de cette congruence ou le nombre des variétés passant par un 

 point arbitraire ce est en général p,. Cet ordre s'abaisse d'autant d'unités 

 qu'il y a de points fixes parmi les [x points a, pourvu que ces points fixes 

 soient simples sur les co^ courbes C obtenues en faisant précéder la ma- 

 trice |lo5,7t[| d'une ligne de formes indépendantes des x et d'ordre le moins 

 élevé possible en a. La congruence est linéaire ou du premier ordre si 

 [A — I des points a sont fixes et un seul variable avec x. 



Si quelques-uns des points fixes a sont singuliers sur les courbes C, on 

 ne peut affirmer que leur nombre ne dépassera pas le nombre maximum 

 de points singuliers d'une courbe non dégénérée. Rien non plus ne permet 

 de dire que les conditions impliquées par la connaissance de ces points 

 doivent être en nombre inférieur aux conditions indépendantes définissant 

 un système de co''~' courbes C. Si r^ est le nombre des points Ai''^^ communs 

 aux courbes C, on n'a, pour caractériser une congruence linéaire, que la 



