SÉANCE DU 20 NOVEMBRE igoj. 819 



sa démonstration (*) de façon à les rendre périodiques. On peut ainsi les 

 représenter approximativement par des suites Ji nies de Fourier ^p,q{^) de 

 période ir:, choisies une fois pour toutes et l'on a alors la proposition sui- 

 vante : 



Si J\Q) est une fonction continue de période 27:, on a Ç-) 



p^-q 



la limite étant uniforme. Si /(6) est continue de o à 27u sans être périodique, 

 on a 



F(0)=lim'2'*f-f)s„(«) 



q = x ■"" \ 7 / 



p = l 



en désignant par F(0) la fonction qui est égale à' pour = 



ou Q-T^ el qui est égale à /(O) pour toute aulre valeur de G. Dans ce cas, la 

 converi»ence n'est uniforme que dans tout intervalle intérieur à (o, 271;). 



Outre l'avantage évident que présente l'emploi de la formule (2) dans 

 le cas des fonctions périodiques, j'y vois encore celui de pouvoir donner 

 une forme complètement explicite des fonctions S^,_y(0). 



On peut, en effet , prendre en particulier 



n = q 



S (0)=i-i-^ 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les développements en fractions continués 

 de la fonction ¥{h, i , h' ,u) et la généralisation de la théorie des fonctions 

 sphériques. Note de M. H. Paoé, présentée par M. Emile Picard. 



Sous la seule condition que la série /= a^ H- a,£f + a.,x'- -h. . . satisfasse 

 formellement à l'équation 



{^, + [i^^ja?^, — ([i, - a, - y.,x)f= (a, - (i,)a„ 



(') Voir BoRKL, Leçons sur les foiiclioas de variables réelles, igoS. 



(") Observer qu'ici la première valeur de /^ est i et non pas o comme dans (i). 



