SÉANCE DU 20 NOVEMBRE igoS. 821 



spécial, on a ainsi les fractions limitées relatives à (i -\- x)'^ que j'ai fait 

 connaître antérieurement (Comptes rendus, i3 et 27 novembre 1899). 



Le rôle de la seconde solution de Téquation (i) est mis en lumière par 

 le théorème suivant : 



Si l'on désigne par Ujjv ie numérateur de la réduite (;x, v), on a 



V(j,vF(/i, I, h'',u) — Up, 



= P Mt^-^^+' (1 - uy'-^'~'F{/i' + V, A'— A + y., A' + j,^ 4_ V + I , u), 



oii P représente une constante. 



Cette formule comprend comme cas très particulier celui, bien connu, 

 qui exprime le rôle des fonctions sphériques de première et de seconde 

 espèce dans le développement en fraction continue de la fonction 



\çi^{x H- i) — log(a? — i); 



elle peut être prise pour point de départ de l'extension des propriétés de 

 ces fonctions, et cette méthode, par laquelle les fonctions des deux espèces 

 se trouvent introduites simultanément et sous le même point de vue, me 

 paraît plus naturelle et plus simple qu'aucune de celles qui ont été pré- 

 conisées jusqu'ici. J'ai fait part de cette méthode à M. E. Picard dans une 

 lettre datée du 10 juin 1904. 



MÉCANIQUE RATIONNELLE. — Sur Un théorème de M. Poincaré, relativement 

 au mouvement d'un solide pesant. Note de M. Edouard Husson, présentée 

 par M. P. Painlevé. 



1. Parmi les résultats remarquables obtenus par M. Poincaré à l'aide 

 des solutions périodiques des équations de la Dynamique, se trouve le 

 suivant : 



Pour quil existe, dans le mouvement d'un corps solide pesant autour d'un 

 point Jî ce, une intégrale première algébrique ne se réduisant pas à une combi- 

 naison des intégrales classiques, il est nécessaire que l' ellipsoïde d'inertie relatif 

 au point de suspension soit de révolution. 



La démonstration de iVI. Poincaré suppose que le produit ]j. du poids du 

 corps par la distance du centre de gravité au point de suspension est très 

 petite. Cependant on l'étend de suite à toutes les valeurs de [j. en rempla- 



