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celles qui restent courbes-limites de tout ensemble obtenu en enlevant 

 fie E une infinité dénombrable de ses éléments; je les appellerai courbes 

 de condensation de IL (*). 



Si un ensemble E de courbes est tel que toute infinité de ses éléments 

 admette au moins une courbe-limite, je dirai (jue E est un ensemble com- 

 pact (^). Enfin je dirai qu'une courbe C d'un ensemble 1 est intérieure, au 

 sens étroit, à l'ensemble I, si C est un élément de I qui n'est limite d'aucune 

 suite de courbes n'appartenant pas à I. 



Ceci étant, on peut alors démontrer que la plupart des théorèmes fon- 

 damentaux des ensembles linéaires s'étendent au cas des ensembles de 

 courbes. Les démonstrations sont beaucoup simplifiées par la notion 

 d'écart que j'ai développée ailleurs (^) etqui justifie ainsi son introduction. 



Théorème I. — De tout ensemble parfait P de courbes continues C, on 

 peut extraire une suite dénombrable D de ces courbes telle que P soit V ensemble 

 dérivé de D . 



Théorème IL — Un ensemble compact non dénombrable E de courbes con- 

 tinues donne toujours lieu à au moins une courbe de condensation. 



Théorème IIL — Soit E un ensemble compact non dénombrable de courbes 

 continues : i^ l'ensemble de ses courbes de condensation est parfait; i^ l'en- 

 semble des courbes de E qui ne sont pas des courbes de condensation de E est dé~ 

 nomhrable. En particulier, tout ensemble fermé, compact et non dénombrable 

 de courbes continues, est la somme d' un ensemble parfait et d'un ensemble dé- 

 nombrable sans éléments communs. 



Théorème IV, — Pour qu'un ensemble compact E de courbes continues soit 

 fermé, il faut et il suffit que, de toute famille G d' ensembles I telle que toute 

 courbe de E soit un élément intérieur, an sens éti^oit, à l'un au moins des en- 

 sembles I, on puisse extraire un nombre fini de ces ensembles I formant une 

 famille H jouissant de la même propriété que G. 



C) Celte définition est une généralisation, sous une forme un peu différente, d'une 

 notion introduite par M. Ernst Lindelof pour les ensembles ponctuels {yo'iv Acta ina- 

 thematlca, igoo). 



(^) Cette définition m'a élé déjà utile pour des ensembles plus généraux. {Comptes 

 rendus, 21 novembre 190/4, ?. janvier et 20 mars iQoS). Klle coïncide pour certains en- 

 sembles avec la définition d'ensemble limité, dont elle est ici distincte. M. Arzela a 

 donné un critérium pour reconnaître si un ensemble de courbes continues est com- 

 pact [voir Suite funzioni dei linee {Rendicoiili dei Lincei. 1889)]. 



(•■') Voir Sur C écart de deux courbes {Transactions of the American Mathema- 

 tical Society, novembre 190.5). 



