SÉANCE DU 27 NOVEMBRE igOD. 87$ 



Nous voyons se manifesler, dans ce qui précède, l'importance particu- 

 lière des ensembles compacts et fermés. Cette importance est encore 

 accrue par la remarque suivante : 



Supposons qu'on fasse correspondre à toute courbe c d'un ensemble E 

 un nombre déterminé U^," de façon que, si r est un élément de E, qui est 

 limite d'une suite d'éléments de E : r,, Tj, ...,r„, .. ., on ait Ur = limiteUr,- 



Nous dirons que U^ est une fonction de ligne, continue dans l'ensemble E. 

 Or M. Arzela a démontré que : Toute fonction de ligne, continue dans un 

 ensemble de courbes, compact et fermé : 1° est bornée dans cet ensemble ; 

 2° y atteint au moins une fois sa limite supérieure ('). Cette proposition 

 est une généralisation d'un théorème bien connu de Weierstrass et j'ai 

 énoncé ce théorème pour des ensembles encore bien plus généraux que les 

 ensembles de courbes (-). Mais, dans le cas des ensembles de courbes, j'ai 

 pu démontrer la réciproque du théorème précédent : 



Théorème V. — Si un ensemble E de courbes continues est tel que toute 

 fonction de ligne, continue dans E : i"" y est bornée; 2P y atteint au moins une 

 fois sa limite supérieure, cet ensemble est nécessairement compact et fermé {^), 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la divergence et la convergence non-uni- 

 forme des séries de Fourier. Note de M. H. Lebesgue, présentée par 

 M. Emile Picard. 



P. du Bois-Reymond a construit le premier des fonctions continues dont 

 les séries de Fourier ne convergent pas partout; peut-être n'a-t-on pas 

 encore remarqué une autre singularité possible des séries de Fourier : 

 il existe des fonctions continues dont les séries de Fourier convergent partout 

 sans être pour cela uniformément convergentes partout. 



(1) Voir Suite funzioni dei linee {toc. cit.) 



(2) Voir Comptes rendus {loc. cit.) 



(') Cette réciproque est aussi exacte pour les ensembles de points de l'espace à un 

 nombre fini ou une infinité clénombrable de dimensions. On peut alors remplacer le 

 mot compact par limité. Je profiterai de l'occasion pour signaler une erreur typo- 

 graphique qui s'est glissée dans ma Note du 22 novembre igoS, Dans la dernière for- 



mule (qui donne S^,^), au lieu de ^j il faut lire /'/ 



