SÉANCE DU 27 NOVEMBRE l^o5. 877 



leurs x^, Xo, ...» tendant vers une limite, de manière qu'en .Tj, l'une des 

 sommes de la série de Fourier de f surpasse p. 



\'oici, par exemple, comment on peut faire. T'osons 



y = ^ijl + ^2/2 + . . . = r^ -f- £/j_j_j //,4., + tp_t_.2jp+'> + . . . . 



Les /p doivent être continues, de période 27:, de valeurs absolues infc'rieures à i et 

 développables en séries de Fourier, uniformément converj^entes. Les Zp doivent être 

 les termes tous positifs d'une série de somme inférieure à i et l'on doit avoir 



Enfin, une dernière condition doit être remplie. A partir d'un certain indice P, les 

 sommes successives de la série de Fourier, uniformément convergente de Fp, sont 

 toutes inférieures en valeur absolue à \\ fp^x doit «voir, pour œ^o^ Tune des sommes 



de la série de Fourier supérieure à ■[t+(^J + i) f- Tj /,_,_, çp( a^,)] -= A p-, a^ étant 



l'indice de cette somme, indice qu'on devra prendre supérieur à P. Cela est bien pos- 

 sible, car il suffit de prendre a^ assez grand pour que l'on ait h.p<. '^{^-p)- 



Dans ces conditions, on voit immédiatement que, pour x z= o, les sommes d'indices 

 a,, aj, ... de la série de Fourier, croissent au delà de toute limite. 



Pour avoir un exemple de la seconde singularité indiquée, j'appelle /,, une fonc- 

 tion continue, de période ^tt, n'ayant qu'un nombre fini de maxima et de minima, 



de valeur absolue inférieure à — > qui, dans (o, ^ir), est nulle à l'extérieur de 



1„ 1 — , 1 et telle aue l'une des sommes de la série de Fourier soit au moins égale 



à/> + 'M — — y| au milieu x^, de l'intervalle I,, dont la longueur est 2 —r:^i- La série de 



/-/.+/. + ••• 



a 



Fourier de 



converge partout, même à l'origine, puisque/ a une dérivée pour .3? = o, et cependant 

 elle ne converge pas uniformément dans un intervalle comprenant l'origine. 



En terminant, j'indique une propriété qui prouve que, si la série de 

 Fourier de /est divergente en un point autour duquel / est bornée, cette 

 série rentre dans la classe de celles qu'on a parfois appelées séries indéter- 

 minées. 



Soient / et L les plus petite et plus grande limites de la série de Fourier 

 de / au point œ, soient \ et A les plus petite et plus gran le limites de 

 /(x -h t) ou de /^-^ + +/('^ — ^ quand i tend vers zéro; les deux 

 intervalles (/, L), (l, A) ont toujours au moins un point en commun. 



G. R., 1905, a» Semestre. (T. CXLI, N» 22.) ' I^ 



