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pour centre et l'unité pour rayon, et divergentes hors de ce cercle; dans le 

 cercle, elles convergent vers F (A, i, h' , u). 



Les fractions continues (F2) et (F3) sont convergentes dans le plan coupé 

 suivant la droite H- i . . . -f- co, et ont pour limite la fonction F (h, i, h', u) 

 et son prolongement analytique. 



2. Ces résultats se transportent immédiatement à la série 



f(x) = aQ-+-a,cc-\-a^x'-^-i-. . . 

 satisfaisant formellement à l'équation 



où Po P^ Pi sont supposés différents de zéro; le domaine D de convergence 

 des fractions (F,) devient le cercle qui a l'origine pour centre et dont la 



circonférence passe par le point dont l'affixe est — ^; celui (0') des 



ro 



fractions (Fo) et (F,) devient le plan coupé suivant le prolongement (C), 



Q 



au delà du point d'affixe — ^> de la droite qui va de l'origine à ce point. 



Po 



3. Si l'on fait tendre po vers zéro, les deux domaines (D) et (D) 

 s'étendent à tout le plan; dans ce cas, on peut établir que toutes les frac- 

 tions continues holoïdes de la fonction f(o^) font convergentes dans tout le 

 plan; on se trouve en présence d'une généralisation du cas connu de la 

 fonction exponentielle; on a, en effet, 



f{x) = i + 



/« + I ( //i + I ) ( /« + 2 ) 



les constantes a et m étant définies par les équations [i, « ■+- a„ = o, 

 ^,m -f- ^, — a, = o. 



4. Supposons, maintenant, que ce soit [i, qui tende vers zéro. Alors, le 

 domaine (D) se réduit à un point; toutes les fractions (F,) deviennent 

 divergentes dans tout le plan, sauf à l'origine; la série f(o^), qui est équi- 

 valente à la première de ces fonctions continues, est la série divergente 



I H- (m H- i) — h ( m -t- I ) (m -4- 2 ) ■-^,- -+- . • -, 



où p(,a -t- a, = o, pom -f- Po — «0 "— <->• 



La coupure (C) du domaine (D') devient une demi-droite issue de V origine 

 et contenant le point d'affixe a. C'est dans le plan ainsi coupé que sont con- 



